2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题十极坐标与参数方程理解析

极坐标与参数方程是高考的选考内容之一，考查的形式主要为解答题．通常第一问比较简单，一般为极坐标方程与普通方程的互换，参数方程与普通方程的互换；第二问一般以直线与圆的位置关系或直线与圆锥曲线的位置关系作为背景，考查极坐标方程中的𝜌的几何意义，或者是参数方程中参数的几何意义，整体难度中等．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点𝑃(𝑥，𝑦)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)xxyy的作用下，点𝑃(𝑥，𝑦)对应到点𝑃′(𝑥′，𝑦′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点𝑂，叫做极点；自极点𝑂引一条射线𝑂𝑥叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点𝑀的极坐标：设𝑀是平面内一点，极点𝑂与点𝑀的距离|𝑂𝑀|叫做点𝑀的极径，记为𝜌；以极轴𝑂𝑥为始边，射线𝑂𝑀为终边的∠𝑥𝑂𝑀叫做点𝑀的极角，记为𝜃．有序数对(𝜌，𝜃)叫做点𝑀的极坐标，记为𝑀(𝜌，𝜃)．一般地，不做特殊说明时，我们认为𝜌≥0，𝜃可取任何实数．注：极坐标(𝜌，𝜃)与(𝜌，𝜃+2𝑘𝜋)(𝑘∈𝐙)表示同一个点．极点𝑂的坐标为(0，𝜃)(𝜃∈𝐑)．若𝜌0，则−𝜌0，规定点(−𝜌，𝜃)与点(𝜌，𝜃)关于极点对称，即(−𝜌，𝜃)与(𝜌，𝜋+𝜃)表示同一点．如果规定𝜌0，0≤𝜃2𝜋，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(𝜌，𝜃)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(𝜌，𝜃)表示的点也是唯一确定的．考点清单命题趋势专题10××极坐标与参数方程极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数𝜌、𝜃对应唯一点𝑃(𝜌，𝜃)，但平面内任一个点𝑃的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，𝑃(𝜌，𝜃)（极点除外）的全部坐标为(𝜌，𝜃＋2𝑘𝜋)或（−𝜌，𝜃＋(2𝑘+1)𝜋），(𝑘∈𝐙)．极点的极径为0，而极角任意取．若对𝜌、𝜃的取值范围加以限制，则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定𝜌0，0≤𝜃2𝜋或𝜌0，−𝜋𝜃≤𝜋等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的，即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设𝑀是平面内任意一点，它的直角坐标是(𝑥，𝑦)，极坐标是(𝜌，𝜃)，从图中可以得出：𝑥=𝜌cos𝜃 , 𝑦=𝜌sin𝜃 , 𝜌2=𝑥2+𝑦2 ， tan0yxx．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为𝛼的直线（1）𝜃=𝛼(𝜌∈𝐑)和𝜃=𝜋+𝛼(𝜌∈𝐑)（2）𝜃=𝛼(𝜌≥0)和𝜃=𝜋+𝛼(𝜌≥0)过点,0a，与极轴垂直的直线cosa过点,2a，与极轴平行的直线𝜌sin𝜃=𝑎(0𝜃𝜋)过点,0a，倾斜角为𝛼的直线𝜌sin(𝛼−𝜃)=𝑎sin𝛼圆心为极点，半径为𝑎的圆𝜌=𝑎(0≤𝜃2𝜋)圆心为,0a，半径为𝑎的圆2cos22a圆心为,2a，半径为𝑎的圆𝜌=2𝑎sin𝜃(0≤𝜃𝜋)5．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标𝑥，𝑦都是某个变数𝑡的函数xftygt，并且对于𝑡的每一个允许值，由这个方程所确定的点𝑀(𝑥，𝑦)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数𝑥，𝑦的变数𝑡叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点00,Pxy，倾斜角为2的直线的参数方程00cossinxxtyyt（𝑡为参数）．设𝑃是直线上的任意一点，则𝑡表示有向线段𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的数量．参数的几何意义是有向线段𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的数量．（2）圆(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2的参数方程为cossinxarybr（𝜃为参数）．（3）椭圆22221(0)xyabab的参数方程为cossinxayb（𝜑为参数）；椭圆22221(0)yxabab的参数方程为cossinxbya（𝜑为参数）．（4）抛物线𝑦2=2𝑝𝑥参数方程22(2xpttypt为参数，1tant）．参数𝑡的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使𝑥，𝑦的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据𝑡的取值范围导出的取值范围．)(),(tgytfxyx,一、解答题．1．直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为3cossinxy（𝛼为参数），直线𝑙的参数方程为13xtyt（t为参数）．（1）求直线𝑙的普通方程，说明C是哪一种曲线；（2）设𝑀，𝑁分别为𝑙和C上的动点，求|𝑀𝑁|的最小值．【答案】（1）𝑙:𝑥+𝑦=4，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；（2）2√2−√5．【解析】（1）由题得直线𝑙:𝑥+𝑦=4，曲线22:13xCy，即2219xy，所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆．（2）设𝑁(3cos𝛼，sin𝛼)，则|𝑀𝑁|就是点N到直线𝑙的距离，3cossin4|10sin()4|22MN（𝜑的终边在第一象限且tan𝜑=3），当sin(𝛼+𝜑)=1时，min410||2252MN．【点评】参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解．2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点𝑀(0，1)，倾斜角为𝛼，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为𝜌=4sin𝜃．（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程；（2）若直线l被圆C截得的弦长为√13，求直线l的倾斜角𝛼．【答案】（1）𝐶：𝑥2+𝑦2−4𝑦=0，cos:1sinxtlyt（t为参数）；（2）6或56．【解析】（1）𝜌=4sin𝜃⇒𝜌2=4𝜌sin𝜃，所以圆C的直角坐标方程为𝑥2+𝑦2−4𝑦=0，①直线l的参数方程为cos1sinxtyt（t为参数）．②经典训练题精题集训（70分钟）（2）将②代入①⇒𝑡2−2sin𝛼⋅𝑡−3=0⇒𝑡1+𝑡2=2sin𝛼，123tt，l被C截得弦长22121212144sin1213sin2dtttttt，∴6或56．【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换，直线参数方程中，参数的几何意义，属于中档题．3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为𝜌2=4𝜌(cos𝜃+sin𝜃)−3，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求圆C的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，𝑃(𝑥，𝑦)是圆C上的动点，试求𝑥+2𝑦的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【答案】（1）25cos(25sinxy是参数）；（2）最大值为11，𝑃(3，4)．【解析】（1）因为𝜌2=4𝜌(cos𝜃+sin𝜃)−3，所以𝑥2+𝑦2−4𝑥−4𝑦+3=0，即(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=5为圆C的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为25cos(25sinxy为参数）．（2）由（1）可知点P的坐标可设为(2+√5cos𝜑，2+√5sin𝜑)，则𝑥+2𝑦=2+√5cos𝜑+4+2√5sin𝜑=2√5sin𝜑+√5cos𝜑+6=5sin(𝜑+𝛼)+6，其中25cos5，5sin5，当𝑥+2𝑦取最大值时，sin(𝜑+𝛼)=1，2,2kkZ，此时5coscos()sin25，25sinsin()cos25，所以𝑥+2𝑦的最大值为11，此时点P的直角坐标为(3，4)．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域，属于中档题．4．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙过定点𝑃(3，0)，倾斜角为02，曲线𝐶的参数方程为1122xtttyt（𝑡为参数）；以原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线𝐶的极坐标方程；（2）已知直线𝑙交曲线𝐶于𝑀，𝑁两点，且103PMPN，求𝑙的参数方程．【答案】（1）2222cos4sin4；（2）23222xtyt（𝑡为参数）．【解析】（1）由1122xtttyt，得112xttytt，∵2222221111224tttttttt，∴𝑥2−(2𝑦)2=4，即𝑥2−4𝑦2=4，又cossinxy，∴2222cos4sin4，即曲线𝐶的极坐标方程为2222cos4sin4．（2）设𝑙的参数方程为3cossinxtyt（𝑡为参数），代入𝑥2−4𝑦2=4，整理得222cos4sin6cos50tt，设方程的两根分别为𝑡1，𝑡2，则12225cos4sintt，则1222510cos4sin3PMPNtt，解得2cos2，∵02，∴4，故𝑙的参数方程为23222xtyt（𝑡为参数）．【点评】在利用参数的几何意义时，一定要将参数方程化为标准方程．5．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1是圆心在(0，2)，半径为2的圆，曲线𝐶2的参数方程为22cos22sin4xtyt（𝑡为参数且02t），以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线𝐶1的极坐标方程；（2）若曲线𝐶2与坐标轴交于𝐴、𝐵两点，点𝑃为线段𝐴𝐵上任意一点，直线𝑂𝑃与曲线𝐶1交于点𝑀（异于原点），求OMOP的最大值．【答案】（1）𝜌=4sin𝜃；（2）√2+1．【解析】（1）曲线𝐶1的直角坐标方程为𝑥2+(𝑦−2)2=4，即𝑥2+𝑦2−4𝑦=0，所以曲线𝐶1的极坐标方程为24sin，即𝜌=4sin𝜃．（2）曲线𝐶2的参数方程为22cos22sin4xtyt，因为曲线𝐶2与两坐标轴相交，所以曲线𝐶2交𝑥轴于点𝐴(2，0)、交𝑦轴于点𝐵(0，2)，所以，线段𝐴𝐵的方程为𝑥+𝑦−2=0(0≤𝑥≤2)，则线段𝐴𝐵的极坐标方程为cossin2002，设点𝑃、𝑄的极坐标分别为𝑃(𝜌1，𝜃)、𝑄(𝜌2，𝜃)，点𝑃在线段𝐴𝐵上，可得𝜌1cos𝜃+𝜌1sin𝜃=2，可