三元一次方程组的消元策略

-1-三元一次方程组的消元策略解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，这里的关键是消元，解题若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.策略一若方程组中某个方程缺某个元，则可从另外两个方程消去这个元，转化为二元一次方程求解例1解方程组.34-23,7-2,223=+==++zyxyxzyx分析：由于方程②中缺少z项，所以先从①、③消去z.简解：①×+③，得5x+8y=7.④②×8+④，得21x=63，即x=3，从而，得y=1.把x=3,y=1代入①，得z=1.策略二若三个方程中均未缺元，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等（或成倍数关系），可消去这个元，转化为二元一次方程组求解.例2解方程组.1376-5,1152-3,9342=+=+=++zyxzyxzyx分析：由于三个方程中y的系数成倍数关系，所以可先消去y.简解：①+②×2，得8x+13z=31.④②×3-③，得4x+8z=20，即x+2z=5.⑤由④、⑤解得x=-1,z=3，从而，得.21=y策略三若均非上述三种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数绝对值的最小公倍数最小的那个元，转化为二元一次方程组求解.例3解方程组.23675,55-43,34-32=++=+=+zyxzyxzyx分析：显然三个方程中x的系数的最小公倍数为最小，应先消去未知数x.简解：①×3-②×2，得y-2z=-1.④①×5-③×2，得y-32z=-31.⑤由④、⑤解得y=1,z=1，从而x=2.策略四对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理例4解方程组.3,6,1=+=+=+xzzyyx分析：这里的三个方程是循环对称的，故若将它们整体相加后再分别减去每个方程，则可直接得出方程组的解.简解：①+②+③，得2x+2y+2z=10.①②③①②③①②③①②③-2-即x+y+z=5.④把④分别减去①、②、③，得z=4,x=-1,y=2.三元一次方程组解法分析解三元一次方程组的基本思路是：将三元一次方程组消元，转化为二元一次方程组或一元一次方程.通过解二元一次方程组或一元一次方程求到方程组的解.下面举例说明.例1解方程组.182,1,26zyxyxzyx分析：观察方程组中的三个方程，其中方程②不含有未知数z，可通过③-①，消去未知数z，然后把所得到的方程与方程②组合二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组可求到x，y的值，进而求到原方程组的解.解：③-①，得x-2y=-8④，由②，④组成方程组得82,1yxyx解这个方程组，得9,10yx把x=10，y=9代代入①，得z=7，所以方程组的解为.7,9,10zyx评注：解三元一次方程组的基本思想是消元，在解题过程中，应根据方程组中方程的特点确定消元的方法.本题也可以采用消去未知数y的方法得到关于x、z的方程组求解.例2解方程组.5232,32,0zyxzyxzyx分析：观察方程组的特点，方程①，②中x，z的系数相等，若用②-①可以直接求到y的值，把所得的y的值代入①，③并组成方程组，可得到关于x、z的二元一次方程组，解此方程组可得到x、z的值.解：②-①，得y=3，把y=3代入①，③，得1422,3zxzx解这个方程组，得5,2zx①②③①②①②③①③-3-所以原方程组的解为5,3,2zyx评注：解三元一次方程组，应注意观察其特点，根据特点灵活选择消元方法.本题也可以直接把①代入②进行消元，得到y的值.例3解方程组3,6,1xzzyyx分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解.解：①+②+③，得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5④由④-①,得z=4,④-②,得x=-1,④-③,得y=2.所以方程组的解为.4,2,1zyx评注:本题采用整体代入消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单的求解方法.实际上,本题也可以先用方程①,②消去y,把所得到的方程和③组成二元一次方程组求解.三元一次方程组消元八法消元是解三元一次方程组的关键，若能根据各未知数系数的特点，灵活地进行消元，则可以提高解题速度。下面介绍几种消元方法。一、先消系数最简单的未知数323xyz，①例1解方程组2311xyz，②12xyz。③分析三个方程中，y的系数的绝对值都是1，所以先消去y比较简单。解①+②，得514xz。④②③，得41xz。⑤④⑤5，得1919z，∴1z。把1z代入④，得3x。把3x，1z代入③，得8y。二、先消某个方程中缺少的未知数①②③-4-4917xz，①例2解方程组31518xyz，②232xyz。③分析因为方程①中缺少y，所以由②③先消去y比较简单。解②2③得52734xz。④再解由①、④组成的方程组，得5x，13z。把5x，13z代入③，解得2y。三、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数2439xyz，①例3解方程组32511xyz，②56713xyz。③分析三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。解①+②2，得81331xz。④②3③，得4820xz。⑤④、⑤两个方程中x的系数成倍数关系，易消去x，由⑤2④，得39z，∴3z。把3z代入⑤，得1x。把1x，3z代入①，得12y。四、整体代入消元26xyz，①例4解方程组1xy，②218xzy，③分析将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。解方程③变形为：18xyzxyy。④把①、②代入④，得26118y。∴9y。把9y代入②，得91x。∴10x。把10x，9y代入①，得7z。五、整体加减消元-5-3213xyz，①例5解方程组27xyz，②2312xyz。③分析观察三个方程中未知数x、z的系数特点，可用整体加减消元法来解。解②③①，得26y，∴3y。①③并化简，得5xy。④把3y代入④，得2x。把④代入②，得527z。∴1z。六、设比值参数消元x∶y=3∶2，①例6解方程组y∶z=5∶4，②66xyz。③分析方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。解设每一份为k，则3xk，2yk，1.6zk。④把④代入③得321.666kkk。∴10k。则31030x，21020y，1.61016z。七、轮换相加法11xyz，①例7解方程组5yzx，②1zxy。③分析观察发现每两个方程都有两对互为相反数，故两两相加均可同时消去两个元。解将三个方程两两相加再除以2，即得6x，8y，3z。八、巧选主元法0xyz，①例8解方程组34xyz，②23514xyz。③-6-分析选x、y为主元，由①、②能迅速解出x、y，从而可使问题获得巧解。解选x、y为主元，联立①、②，解得22xz，2yz，将它们代入③，解得2z，进而得6x，4y。