七年级数学上册 第一章《有理数》1.2 有理数能力培优讲义 （新版）新人教版

1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a和a，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记住∣a∣.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a0a0a0aa0a=.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小.温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大.方法技巧：1.若a，b互为相反数，则a+b=0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a∣=a，则a≥0；若∣a∣=－a，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888．正数（）；负数（）；非负数（）；正分数（）.2、已知有A、B、C三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分．A.{－5，2.7，－9.7，2.1}B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二利用数轴上的点的位置确定数的大小4、如图，在数轴上点A表示的数可能是（）A.1.5B.－1.5C.－2.6D.2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有个.17.810.6-7.4-12.66、如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点之间的距离为.专题三利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。8、某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：（1）聪聪家与刚刚家相距多远？（2）如果把这条人民路看作一条数轴，以校门口为原点，向东为正方向，请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（数轴上一格表示50米）。（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少？9、我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行使，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．现在一个轨道长为180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为40cm，B到右挡板的距离为50cm，A、B两球相距30cm．（1）在数轴上，A球在坐标原点，B球代表的数为30，找出C球及右挡板E代表的数．（2）碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，问多少秒后B球第二次撞向右挡板E？（3）在前面的条件下，当3个钢球运动的路程和为6米时，哪个球正在运动?此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是什么？专题四相反数的定义与性质10、化简下列各数：（1）－（＋2.7）；（2）－（－14）；（3）＋（－701）；（4）－[＋（－2）]；（5）－｛－[－（－2）]｝；（6）－｛＋[－（－2）]｝．11、（1）你能否说说a的意义？“a是相反数”这个说法对吗？a一定表示负数吗？（2）说说aa的意义．12、有理数x、y在数轴上对应点如图所示：（1）在数轴上表示－x、－y；（2）试把x、y、O、－x、－y这五个数从大到小用“”号连接起来．专题五绝对值的意义与性质13、|a|=3，|b|=6，且a，b异号，求a与b的值．14、已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是（）A.aB．－aC．︱－a︱D．－︱－a︱15、已知abc、、都是有理数，且满足abcabc＝1，试判断a、b、c三个数中正数有几个．16、点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a－b|．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和－2的两点之间的距离表示为；（3）若x表示一个有理数，则|x－1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．专题六有理数的大小比较17、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数连起来.2，－4.5，－1.5，3.5，1.6，0，－218、下列有理数大小关系判断正确的是（）A.01.01.0B.1000C.1010D.111)101(19、在数轴上画出表示下列各数的点0，+（－2.5），132，－2，5，－143，并比较大小．答案：1.解析：正数（＋7，59，722，0.009）；负数（－23，－3.14，－888）；非负数（＋7，59，0，722，0.009）；正分数（722，0.009）.2.解：3.答案不唯一.如－5，0，－0.5，2，3.4.C解析：本题考查数轴上的点表示有理数.因为点A在原点的左边，所以A、D选项可以排除，－1.5应该在－1和－2之间，所以D选项可排除.－2.6在－3和－2之间，所以C选项正确.5.12解析：因为－12.6＜－12，－7.4＜－7，此段上整数有－12，－11，－10，－9，－8，共5个；同理10.611，17.8＜18，所以此段上整数有11，12，13，14，15，16，17共7个，所以被墨迹盖住的整数共有5＋7＝12（个）.6.2或8解析：从数轴上看，到原点的距离为3的点有两个，分别在原点的左右两侧，它们是—3和3，因此点A表示的数是±3；同理可得点B表示的数是±5.如果所示，所以A、B两点之间的距离为2或8.7.8.解析：（1）150+200=350（米）；（2）；（3）体育场所在点所表示的数是－110.9.解析：（1）依题意得：AC=180－40－30－50=60，AE=80.因为C在负半轴，所以C代表－60，E代表+80．（2）依题意得（180×2+80）÷10=44（秒）．（3）当3个钢球运动的路程和为6米时，C球正在运动，此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是－60，30，－80．10.解：（1）－（＋2.7）＝－2.7；（2）－（－14）＝14；（3）＋（－701）＝－701；（4）－[＋（－2）]＝2；（5）－｛－[－（－2）]｝＝2；（6）－｛＋[－（－2）]｝＝－2．11.解析：（1）－a表示a的相反数；“－a是相反数”不对；－a不一定表示负数.（2）a=－a表示一个数等于它的相反数.12.解：（1）（2）－xy0－yx.13.解析：由题意得：a=±3，b=±6.因为a，b异号，∴a=3，b=－6或a=－3，b=6.14.C解析：选项A中的a可以表示任何实数；选项B中的－a表示a的相反数，所以表示任何实数；选项C中︱－a︱表示一个数的绝对值，所以︱－a︱一定为非负数.15.解析：要求出aa的值，我们需要去掉绝对值符号，因此我们需要分两种情况讨论：当a＞0时，aa＝aa＝1；当a＜0时，aa＝aa＝－1．所以1(0)1(0)aaaa．同样道理：1(0)1(0)bbbb，1(0)1(0)cccc．因为abcabc＝1，所以aa、bb、cc中必然两个等于1，一个等于－1．所以a、b、c三个数必然两正一负．16.解析：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是|5－2|=3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1－（－3）|=4；（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和－2的两点之间的距离表示为|x－（－2）|=|x+2|或|－2－x|=|x+2|；（3）根据绝对值的定义有：|x－1|+|x+3|可表示为点x到1与－3两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在－3与1之间时，|x－1|+|x+3|有最小值4．17.解析：如图∴－142＜－2＜－1.5＜0＜1.6＜2＜132.18.D解析：0.10.1,0.010.01，根据两个负数的比较，绝对值大的反而小，得0.10.01，所以A选项错误；因为100100，所以0＜100，所以B选项错误；因为1010,1010，所以10＞10，所以C选项错误.19.解析：－143+（－2.5）－201325.－4－3－2－101234－5－4.5－2－1.51.623.50