麻省理工学院电子工程和计算机科学

麻省理工学院电子工程和计算机科学6.011：通信，控制和信号处理导论期末考试－试卷星期二，2003年5月20日全名答疑老师和时间z在上面的空格处写下名字，因为我们正在收集试卷和答题卷，但是当你收集你的答题卷时我们将会把试卷还给你。z测试是闭卷的，允许携带6页笔记（双面）z允许携带计算器，但是可能没有用处。z考试有五道题目，分数分别为15，20，25，15，25，总计100分。如果你打算根据问题的分数分配时间，我们已经为每个问题标上分钟数，作为你在这个问题花费时间的粗略指导，你花费的时间可能会不同，当然，这取决于你对某个问题的熟练程度。请仔细安排你的时间；如果你被某个问题难住，试着进行另外一部分或者另外一个问题，如果还有剩余时间再回头做。避免在一个问题上花费过长的时间。z推理要清晰准确并写出相关的过程。每个问题的评分基于你对问题的理解程度，这主要由你写的内容反映，正确的昀终结果可能无法得满分，不正确的昀终结果也不意味着一分不得。z如果我们无法阅读，我们不能/将不会评分。书写要整齐明了。z只交答题卷。在评分中不考虑其他页。你可能想首先在试卷的空白处或者草纸上进行计算，然后把你想要我们看到的工作转到答题卷上。如果你需要额外的草纸请让我们知道。问题1（15分，20分钟）对下面的每个部分，使用适当的证明和计算提供简要的答案。（a）一个非渐近稳定的因果LTI状态空间系统是否可以通过合适的LTI状态空间反馈变得渐近稳定，即使它的一些模态不可达？回答：是的，只要不可达的模态是渐近稳定的。所有的可达模态都可以通过状态反馈平移。（b）考虑一个零均值的连续时间WSS随机过程()xt，对于频率mωω，00N时，它的功率谱密度()xxSjω为恒值，该频带以外为0。通过考虑该过程的自相关函数()xxRτ，可以看到选择合适的T，随机过程的采样()xnT构成了一个离散时间零均值WSS白噪声。求合适的T，并指出相应的()xnT的方差是什么。图1：()xt的功率谱密度和自相关函数答案：图1表示()xt的功率谱密度和自相关函数。分析mTπω=时或任意整数倍的采样，具有零均值并且不相关。因而，相应的采样()xnT的方差是()()0var0nxxNxnTRωπ==⎡⎤⎣⎦（c）已知两个具有相同方差2σ，不同均值1μ和21μμ的高斯分布，根据从其中一个的抽取的单测度进行昀小误差概率的假设检验。使用标准()Qx函数来表示正确探测高斯分布的均值2μ的条件概率和错误探测高斯的条件概率。回忆()2/212txQxedtπ∞−=∫答案：对于两个等方差的高斯分布，昀优测试是测量的阈值测试。因为先验概率是相等的，阈值是条件概率密度的交叉处，即它们均值的中间：212μμ+。正确探测高斯分布的均值2μ的条件概率可以表示为：1221222DPQQμμμμμσσ+⎛⎞−⎜⎟−⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠错误探测高斯分布的条件概率是：1212122FAPQQμμμμμσσ+⎛⎞−⎜⎟−⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠（d）如果对DT信号进行脉冲幅度调制后通过一个连续时间低通信道进行传输，信道的带限是mωω，在DT信号的信息损失前，昀高的符号重复率是什么？答案：如果[]an是待传输序列，()pt是脉冲波形，()ht是信道的脉冲响应，()rt是接收到的信号，()rt的变换表示为：()()()()|jTRjAePjHjωωωωΩΩ==因为()jAeωπΩ时有信息，要在带宽Tπω传送频率，所以mTπω=。因而，[]an无信息损失传送的昀高的符号重复率是1mTωπ=。问题2（20分，40分钟）设零均值WSS的随机过程[]xn可以通过如下过程获得－将一个零均值且功率谱密度（PSD）为()2jSeωωσΩ=的白色过程作为一个（稳定的，因果的）的滤波器的输入，此滤波器的系统函数为()113Mzz−=−。（a）如果()jxxSeΩ表示[]xn的PSD，求()xxSz。并求随机过程[]xn的自协方差函数，随机变量[]1xn+的方差以及[]xn和[]1xn+的相关系数ρ。答案：()xxSz可以表示为()()()()()()()1212113133103xxSzMzMzSzzzzzωωσσ−−−==−−=−+−对()xxSz进行逆变换产生自相关函数[]xxRm。因为[]()0Enω=知[]()0Exn=；则[][]xxxxCmRm=。因而，[][][][]()2311031xxCmmmmσδδδ=−++−−。[]1xn+的方差是自协方差函数在延迟0处的值，因而[]()2var110xnσ+=。[]xn和[]1xn+的相关系数ρ可以被表示为[][]22130.3010xxxxCCσρσ−===−（b）基于[]xn的测量求[]1xn+的LMMSE估计器，并计算相关的均方误差（MSE）。MSE比你在（a）中计算的[]1xn+的方差小吗？答案：因为[]xn和[]1xn+都是零均值且具有相同的方差，LMMSE估计可以表示为：[][][]ˆ10.3xnxnxnρ+==−因而，相关的MSE是：[][]()()()22222ˆ1110191011009.1MSEExnxnσρσσ=+−+=−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠=MSE比2（a）中计算的方差小，因为利用了相关变量[]xn的知识。（c）寻找一个稳定、因果滤波器的系统函数()Fz，它的倒数()1/Fz也是稳定、因果的，使得()()()1xxSzFzFz−=请注意这个部分，因为这里的错误会影响到下面的部分！答案：从（a）部分的结果，对()xxSz进行因子分解：()()()()()()()21211211313131333xxSzzzzzzzzzσσσ−−−−=−−=−−=−−以这个形式写出时，我们注意到它在0和∞有极点，在3和13处有零点。如果选择()Fz是稳定、因果（并且有个稳定和因果的逆），则需要它的极点在0并且零点在13，因而()()13Fzzσ−=±−（d）求因果的维纳滤波器的系统函数，它将根据所有过去的[],xkkn≤产生[]1xn+的估计，即，求一步预测器的系统函数。你认为在这个情况下MSE会小于、等于还是大于你在（b）中的计算？（不需要精确计算MSE，.我们仅对你的大致判断感兴趣）答案：选择[][]1ynxn=+，以使因果维纳滤波器基于[]xn所有过去的值产生估计[]ˆyn。我们注意到：[][][]()[][]()[]11yxxxRmEynmxnExnmxnRm=+=++=+对两边进行Z变换得到()()yxxxSzzSz=，因果维纳滤波器的传递函数()Hz为：()()()()11yxSzHzFzFz−+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦代入相应的值结果为：()()()()()()1111113313yxSzHzFzFzzzzzσσ−+−−+−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=±−⎣⎦±−=−()1133zHzz=−−因为在该情况下比2（b）使用更多的信息，所以MSE会更小。我们能从第10讲的方程（L10－8）中回忆起MSE从非因果的情况下的值（对于预测问题为0）开始，增量为：()()2*12jyxjSeMMSEdFeπππΩΩ−−⎡⎤⎢⎥Δ=Ω⎢⎥⎣⎦∫这是严格反因果部分的能量。在这种情况下，()()*3jyxjSezFeσΩΩ−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，或者3jeσΩ（对于单位圆上的z值，这是上述积分考虑的）。因此，可得到29MMSEσ=，和2（b）中得到的29.1σ比不是一个很大的提高。问题3（25分，45分钟）一个一阶因果离散时间LTI系统状态空间模型为：[][][][]13qnqnxndn+=++其中[]xn是已知控制输入，[]dn是未知WSS噪声干扰，均值为零且有[]()22dEdnσ=。我们使用观测器来建立[]qn的估计[]ˆqn，使用带噪声的输出测量：[][][]2ynqnvn=+其中测量噪声[]vn也是一个未知的WSS白噪声过程，均值为零且有[]()22vEvnσ=。设测量噪声与系统噪声不相关：对所有,nk，[][]()0Evndn=。（a）指出你想实现下列哪个方程作为你的（因果）观测器，解释你的推理，在每个情况中，l表示观测器增益。（i）[][][][][][][]()ˆˆˆ132qnqnxndnlynqnvn+=++−−−（ii）[][][][][][]()ˆˆˆ132qnqnxnlynqnvn+=+−−−（iii）[][][][][][]()ˆˆˆ132qnqnxndnlynqn+=++−−（iv）[][][][]()ˆˆˆ132qnqnlynqn+=−−（v）[][][][][]()ˆˆˆ132qnqnlynqnvn+=−−−（vi）不是上述（指定）的答案：我们选择（iii），因为我们不知道[]dn和[]vn，但是知道[]xn（b）建立观测器误差[][][]ˆqnqnqn=−的状态空间模型，写成下面形式：[][][]1qnqnpnα+=+使用问题陈述中指定的参数和信号表示α和[]pn（但[]pn不包括[]qn）。检查：如果你做得正确，你会发现当32l=−时0α=。答案：用上述表达式替换[]qn的和我们在3（a）中选择的观测器，可以将观测器误差的状态空间模型表示为：[][][][][]()()[][][]13232qnqndnlqnvnlqndnlvn+=+++=+++可以容易看出32lα=+且[][][]pndnlvn=+，在前式中代入32l=−则0α=。（c）求（b）中误差系统的系统函数和相应的冲击响应，即，求联系[]qn和输入[]pn的系统函数和相应的冲击响应。答案：对误差系统的两边进行变换，得到：()()()()()()()()()1111zQzQzPzQzzPzQzHzPzzzzαααα−−=+−===−=−看到系统是因果的，对系统函数进行逆z变换，得到脉冲响应[][]11nhnunα−=−。（d）注意（b）中输入过程[]pn是WSS且均值为零。根据问题陈述中指定的参数，求它的自协方差函数[]ppCm。答案：我们想到[][][]pndnlvn=+，并且[]dn和[]vn不相关。因而，由[][][]()ppCmEpnmpn=+直接得：[][][][]()2222ppddvvdvCmCmlCmmlδσσ=+=+（e）对于32l=−，求观测器误差的均值[]()Eqn，二阶矩[]()2Eqn和方差。答案：对于32l=−，0α=。α取该值时误差模型的值可以简化为[][]1qnpn+=，求解[]qn的矩：[]()[]()[]()[]()1000EqnEpnEdnlEvn=−=+=+=[]()[]()[]22222229104ppdvdvEqnEpnClσσσσ=−==+=+[]()229var4dvqnσσ=+我们注意到方差和二阶矩相同，这是因为[]qn是均值为零。（f）如果l不取（e）指定的值，要使观测器误差[]qn是一个零均值的WSS过程（设观测器自从时间开始就已经运行，即，从过去无穷远处开始）l要满足什么约束？判别（e）中选择的l是否满足这里求出的约束。答案：我们需要选择l使误差系统是稳定的。即，想要（单）特征值λ满足1λ，在这个误差系统中λα=。这变换为：132121ll−+−−我们注意到32l=−满足该约束。（g）设满足（f）中指定的l的约束且观测器从过去无穷远处开始运行。求观测器误差的均值[]()Eqn，二阶矩[]()2Eqn和方差的通用表达式。你可能发现记起如下公式是有用的：22011kkαα∞==−∑答案：已知l满足前述约束，零均值的WSS过程[]pn通过单位采样响应为[]hn的LTI滤波器输出为[]qn。因而，输出是零均值的，即，[]()0Eqn=。因为是零均值的，它的二阶矩和方差是相等。求解它们两个：[]()[]()[][]()()()()()()()()()22122212222022222222var0**01132qqppkdvkkdvkdvdvEqnqnRhhRlllllασσασσσσασσ∞−=∞=====+=++=−+=−+∑∑检查当32l=−时，可得到方差[]()()222vardvqnlσσ=+，和3（e）中的相同。（