四川省泸州市泸县第二中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理

四川省泸州市泸县第二中学2020届高三数学上学期开学考试试题理第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足，则z=A.B.C.D.2.已知集合，，则A.B.C.D.3.某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除n个个体，然后把剩下的个体按0001，0002，0003……编号并分成m个组，则n和m应分别是A.53，50B.53，30C.3，50D.3，314.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.5.等比数列中，，，则数列前3项和A.B.C.D.6.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若lm，m，则lB.若//l，//m，则//lmC.若//l，m，则//lmD.若l，//lm，则m7.在矩形ABCD中，4,3ABAD，若向该矩形内随机投一点P，那么使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为A.14B.13C.47D.498.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A.B.C.D.9.下列三个数：33ln,ln,ln3322abc，大小顺序正确的是A.acbB.abcC.bcaD.bac10.如图，在正方体ABCD－ABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则A.S为定值,l不为定值B.S不为定值,l为定值C.S与l均为定值D.S与l均不为定值11.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（）A.B.C.D.12.已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.平面向量与的夹角为60°，，，则等于.__________．14.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.15.若2nxx的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线6ayx与曲线2yx所围成的封闭区域面积为．16.如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为___．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本大题满分12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.18.（本大题满分12分）如图，在ABC中，12,cos3ABB，点D在线段BC上.（1）若34ADC,求AD的长；（2）若2,BDDCACD的面积为423,求sinsinBADCAD的值.19.（本大题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，平面为的中点，，，（1）证明：平面；（2）如果二面角的正切值为2，求的值．20.（本大题满分12分）如图所示，圆O：，，，D为圆O上任意一点，过D作圆O的切线分别交直线和于E，F两点，连AF，BE交于点G，若点G形成的轨迹为曲线C．记AF，BE斜率分别为，，求的值并求曲线C的方程；设直线l：与曲线C有两个不同的交点P，Q，与直线交于点S，与直线交于点T，求的面积与面积的比值的最大值及取得最大值时m的值．21.（本大题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为1,0，若直线l的极坐标方程为2cos10,4曲线C的参数方程是24{4xtyt（t为参数）.（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l和曲线C交于,AB两点，求11.MAMB23.设函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．2019-2020学年四川省泸县第二中学高三开学考试数学（理）试题答案1.C2.D3.C4.B5.B6.D7.D8.B9.A10.B11.A12.C13..14.12015.33216.17.（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人的所有可能取值为0,1，2，3.随机变量的分布列为：012318.解析：（I）在三角形中，∵1cos3B，∴22sin3B．………………2分在ABD中，由正弦定理得sinsinABADADBB，又2AB，4ADB，22sin3B．∴83AD．………………5分（II）∵2BDDC，∴2ABDADCSS，，又423ADCS，∴42ABCS，………………7分∵1·sin2ABCSABBCABC，∴6BC，∵1·sin2ABDSABADBAD，1·sin2ADCSACADCAD，2ABDADCSS，∴sin2?sinBADACCADAB，………………9分在ABC中，由余弦定理得2222?cosACABBCABBCABC．∴42AC，∴sin2?42sinBADACCADAB．………………12分19.（1）证明：由题意，∠ADC=45o，AD=AC=1,故∠DAC=90o即DA⊥AC.又因为PO⊥平面ABCD,所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC4分（2）法一：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角.8分因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以，而，故，PO=2MG=2.12分法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则,，，，设平面MAC的法向量为，，，则，所以的一个取值为10分平面ACD的法向量为.设二面角的平面角为，因为，所以a=212分20.解：（1）设（），易知过点的切线方程为，其中则，，∴设，由（）故曲线的方程为（）（2），设，，则，，由且，∵直线与直线交于点，与直线交于点∴，∴∴，令，且则当，即，时，取得最大值.21.解：（1）解．当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）解根据（1）函数的极值点是，若，则．所以，即，由于，即．令，则，可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以的最小值是，故只要即可，故的取值范围是．（3）证明不等式．构造函数，则，可知函数在上，即函数在上单调递增，由于，所以，所以，所以．22.解：(1)因为2cos10,4所以cossin10由cos,sin,xy得10xy因为24{,4xtyt消去t得24yx所以直线l和曲线C的普通方程分别为10xy和24.yx(2)点M的直角坐标为1,0,点M在直线l上，设直线l的参数方程：21,2{2,2xtyt（t为参数），,AB对应的参数为12,tt，24280tt.121242,8tttt.21212121212411ttttttMAMBtttt.323218.23.（Ⅰ），令或，得，，所以，不等式的解集是．-------6分（Ⅱ）在上递减，递增，所以，，由于不等式的解集是非空的集合，所以，解之，或，即实数的取值范围是．