四川省泸县第四中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试理科数学试题答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，41zi，则复数z的虚部为A.2iB.2iC.2D.22.已知全集2018={|0}2019xURAxx，，则UCAA．{|20182019}xxB．{|20182019}xxC．{|20182019}xxD．{|20182019}xx3.已知双曲线)0,0(12222babyax的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx垂直，则双曲线的方程为A.1422yxB.1422yxC.15320322yxD.12035322yx4.设0x，Ry，则“yx”是“yxlnln”的A.充分而不充分条件B.必要而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．43B．2512C．83D．1036．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是A．k＜18B．k＜17C．k＜16D．k＜1512227.设变量x、y满足约束条件306203yyxyx，则yxZ2的最小值为A.-3B.-2C.0D.68．已知定义在(0,)上的函数2()fxxm，()6ln4gxxx，设两曲线()yfx与()ygx在公共点处的切线相同，则m值等于A.5B.3C.3D．59.已知平面向量OAOB，8OAOB，当01t时，314tABAOBOtBA的最小值是A．6B．8C.10D．1210.已知四面体ABCD的四个顶点都在半径为3的球面上，AB是球的直径，且,3,2ABCDBCCD，则四面体ABCD的体积为A．21B．23C.33D．4211.若函数2()()fxxxc在2x处有极大值，则常数c为A．2或6B．2C．6D．-2或-612.设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，当0x时，1ln'()()xfxfxx，则使得2(4)()0xfx成立的x的取值范围是A．(2,0)(0,2)B．(,2)(2,)C．(2,0)(2,)D．(,2)(0,2)二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()fx是R上的奇函数，且(1)yfx为偶函数，当10x时，2()2fxx，则7()2f．14．2421xy的展开式中，满足3mn的mnxy的系数之和为．15.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,P是抛物线C上的点,且PFx轴.若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为1,则实数p的值为__________.16．设二次函数2fxaxbxc的导函数为fx，若对任意xR，不等式fxfx≥恒成立，则2222bac的最大值__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本大题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为6cos2sin，直线l的参数方程为1222xtyt(t为参数)．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设点(1,2)Q，直线l与曲线C交于、AB两点，求|QA|·|QB|的值．18.(本题满分12分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1(Ⅰ)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;(Ⅱ)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd19.（本小题满分12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线12yx上的圆E与x轴相切，且,EF关于点1,0M对称．（Ⅰ）求E和Γ的标准方程；（Ⅱ）过点M的直线l与E交于,AB，与交于,CD，求证：2CDAB．20.（本题满分12分）2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；2PKk0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.8790.0050.02025354555657585频率/组距年龄0.0150.0250.0300.0350.010（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s．（i）利用该正态分布，求(6073.4)PX；（ii）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：4.13180，若2~(,)XN，则()0.683PX，(22)0.954PX21.（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且060DAB，AC与BD交于点O，PO底面ABCD，POh.（Ⅰ）求证：无论0hh为何值，在棱PB上总存在一点M，使得//PD平面AMC；（Ⅱ）当二面角BAMC为直二面角时，求h的值．21.（本题满分12分）已知22()2lnafxxaxx.（Ⅰ）当01a时，求证：()02af；（Ⅱ）若()fx有三个零点时，求a的范围.2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试理科数学试题答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.C3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.C10.B11.C12.D二．填空题13.2114.415.216．62三.解答题17.(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，所以x2＋y2＝6x＋2y，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x－2y＝0.由x＝1－2ty＝2＋2t，消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为x＝1－22t′y＝2＋22t′(t′为参数)………7分代入曲线C的直角坐标方程x2＋y2－6x－2y＝0得t′2＋32t′－5＝0.………9分由韦达定理，得t′1t′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t′2|＝5.………10分18..解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），…………4分我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给2分）…………6分（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，…7分由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2≈6.734，且K2＝6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．…………12分19.解：（1）设的标准方程为22xpy，则0,2pF．已知E在直线12yx上，故可设2,Eaa．....................................1分因为,EF关于1,0M对称，所以201,2202apa，解得1,2.ap………………3分所以的标准方程为24xy．................................................4分因为E与x轴相切，故半径1ra，所以E的标准方程为22211xy．..5分（2）设l的斜率为k，那么其方程为1ykx，..............................6分则2,1E到l的距离211kdk，所以2222121kABdk．.............7分由24,1xyykx消去y并整理得：2440xkxk．设1122,,,CxyDxy，则12124,4xxkxxk，那么2121CDkxx22121214kxxxx2241kkk．.........9分所以2222222216+1212=281kkkkkkCDkkkkABk．......................11分所以222CDAB，即2CDAB．.......................................12分20.(Ⅰ)这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差2s分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x…2分222222(30)0.05(20)0.1(10)0.1500.35100.2200.15180s…4分(Ⅱ)（i）由（1）知，)18060(~，NX，从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152PXPX；…7分（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[4555]，内有3人，在[6575]，内有4人，故Y可能的取值为0，1，2，3354)0(373403CCCYP，3518)1(372413CCCYP，3512)2(371423CCCYP351)3(370433CCCYP所以Y的分布