圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出ca、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221abace；双曲线中221abace.所以只要求出ab值即可求离心率.例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l与双曲线C：2222100xyabab＞，＞相交于DB、两点，且BD的中点为)3,1(M，求曲线C的离心率.解析：如图，设),(),(2211yxDyxB、，则1221221byax①1222222byax②①-②整理得0))(())((2212122121byyyyaxxxx③又因为)3,1(M为BD的中点，则6,22121yyxx，且21xx，代入③得13222121abxxyykBD，解得322ab，所以231122abe.方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与ab的关系，解得22ab的值，从而整体代入求出离心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21baxx，2),(ba或者),(21bayy，6),(ba从而解出22ab的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为032yx，则双曲线的离心率为（）.313.A213.B315.C210.D2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆222)1()2(ryx交于BA、两点，AB恰是该圆的直径，且直线AB的斜率21k，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22mymxC，双曲线上一动点P到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C的离心率.【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x上，则渐近线方程0aybx，又题设条件中的渐近线方程为032yx，比较可得32ab，则313941122abe.2.答案：设椭圆方程为)0(12222babyax，),(),,(2211yxByxA，则1221221byax①1222222byax②①-②整理得0))(())((2212122121byyyyaxxxx③因为AB恰是该圆的直径，故AB的中点为圆心)1,2(，且21xx则2,42121yyxx，代入③式整理得2221212abxxyyk直线AB的斜率21k，所以21222abk，解得4122ab所以离心率23411122abace.3.答案：曲线C的渐近线方程分别为0:1ymxl和0:2ymxl，设),(00yxP，则点),(00yxP到直线1l的距离mymxd1001，点),(00yxP到直线2l的距离mymxd1002，mmyxmymxymxdd112020000021因为),(00yxP在曲线C上，所以mmyx2020，故21121mmdd，解得1m所以2e.策略二：构造ca,的关系式求离心率根据题设条件，借助cba,,之间的关系，沟通ca、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e.例2.已知21,FF是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF的中点为P，则点P的横坐标为2c.由cFFPF21121，焦半径公式aexPFp1有acacc)2(，即02222acac有0222ee解得31e，或31e（舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于ca,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace整理成关于e的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(双曲线椭圆ee.【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，||AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）.A2.B3.C2.D32.（2008浙江）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（）.A3.B5.C3.D5【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意aaacAB22222，解得2e.2.答案：依据题意2:3)(:)(22caccac，整理得223ac，所以3ace.策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即edMF.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于BA,两点，直线l的倾斜角为60,2AFFB,求椭圆C的离心率.解法一：作椭圆的左准线BA,过A作BA的垂线，垂足为A；过B作BB的垂线，垂足为B.过B作AA的垂线，垂足为M.如图2.由图，由椭圆的第二定义，则eAAAFeAFAA，eBBBFeBFBB12::eBFeAFBBAABBAA2且AABM,所以M是AA的中点又因为直线l的倾斜角为60，即60AFxBAM，所以在BAMRt中，AAAMAB2,故3232ABABAAAFe.解法二：设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知10y，20y.直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】1.（2010全国卷二）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k（）.A1.B2.C3.D22.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且FDBF2，则C的离心率为.【强化训练答案】1.答案：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过BA、分别作AA,BB垂直于l，BA、为垂足，过B作BE垂直于AA与M，如图3所示，由椭圆第二定义，则eAFAA,eBFBB，由FBAF3,得eBFAA3所以332142coseBFeBFABAEBAE，21cos1tan2BAEBAE，所以2k.故选B.2.答案：方法一：如图4，22||BFbca,作1DDy轴于点D,则由FDBF2，得||||2||||3OFBFDDBD,所以33||||22DDOFc,即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233||()22accFDeaca又由||2||BFFD,得232ccaa,整理得22320caac.两边都除以2a,得2320ee,解得1()e舍去，或23e.方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，F分线段BD所成的比为2，222230223330;122212222ccccybxbybbxxxcyy，带入222291144cbab，33e.课时2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆222210xyabab（）中，axa；在双曲线中222210,0xyabab（）中，ax或ax.例1.设椭圆222210xyabab（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使1290FPF，求离心率e的取值范围.解析：设),(yxP，又知120(0)FcFc(，)，，，则),(1ycxPF，),(2ycxPF因为1290FPF，则PFPF21，即0))((221ycxcxPFPF所以222cyx联立方程22222221cyxbyax，消y，解得2222222acabxab又因为1290FPF，故220ax，22222220acabaab即①解不等式①，结合椭圆的离心率范围为)1,0(e，可得2[12e，）.方法点拨：由题知axa，根据限制条件用cba,,表示x，即),,(cbax，然后代入不等式acbaa),,(，结合222cba整理得关于ca,的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.【同类题型强化训练】1.（2007湖南）设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）.A202，.B303，.C212，.D313，2.(2008福建)双曲线22221xyab)0,0(ba的两个焦点为21FF、,若P为其上一点，且212PFPF,则双曲线离心率的取值范围为（）.A(1,3).B1,3.C(3,+).D3,3.（2010四川）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()5*u.co*m.A20,2.B10,2.C21,1.D1,12【强化训练答案】1.答案：如图,ccaAF22,因为线段1PF的中垂线过点2F，则22121AFFFFFcFFPF2212,即ccac22，解得),33[e又椭圆的离心率)1,0(e，综上313e，.2.答案：21FF、分别为左右焦点，设),(00yxP在双曲线的右支上，则aexPFaexPF0201,，由212PFPF，则)(200aexaex解得eax30因为),(00yxP在双曲线的右支上，则ax0，即aea3，解得31e.3.答案：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等w_ww.k#s5_u.co*m而22abFAcccw_w_w.k*],[cacaPF于是2bc],[caca即222222caccacacac1112caccaa或w*又)1,0(e，故)1,21[e.策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用例1.已知21FF、为椭圆)0(12222babyax的焦点，M为椭圆上一点，,6021MFF则椭圆的离心率的范围为.解析：如图,M为椭圆上一点，设),(00yxM，则0201,exaMFexaMF在21FMF中，由余弦定理，则