四川省阆中中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题 文（含解析）

四川省阆中中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题文（含解析）（总分：150分时间：120分钟）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，满分l50分，考试时间l50分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.数列2，22，222，2222，的一个通项公式an是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出数列{cn}:9，99，999，9999的通项是10n﹣1，而要求数列的每一项均是数列{cn}的，即可得答案．【详解】根据题意，数列{cn}：9，99，999，9999的通项是10n﹣1，数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{cn}的，则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是an；故选：D．【点睛】本题考查数列通项的求法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去寻找通项公式，属于基础题．2.已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算，注意有两个解.【详解】由正弦定理得，故，所以，又，故或.所以选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.3.已知sinθ＋cosθ＝，≤θ≤，则cos2θ的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】sinθ＋cosθ＝，平方得2sinθcosθ的值，进而得sinθ-cosθ的值，联立即可求解【详解】sinθ＋cosθ＝，平方得2sinθcosθ=，且θ故,即，则cos2θ=（sinθ＋cosθ）（cosθ-sinθ）=故选：C【点睛】本题考查同角三角函数基本关系及二倍角公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题4.已知数列{an}满足递推关系：an+1=，a1=，则a2017=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】an+1=，a1=，可得1．再利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】∵an+1=，a1=，∴1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴2+2016＝2018．则a2017．故选：C．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b-c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由等式利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，即可求出sinA．【详解】已知等式（bc）sinB+csinC＝asinA，利用正弦定理化简得：（bc）b+c2＝a2，∴b2+c2﹣a2bc，∴cosA，∴sinA，故选：B．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，是基础题6.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A.B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴acsinB＝2，即c＝4，∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R5．故选：C．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S9＝12，则下列各式一定为定值的是()A.a3＋a8B.a10C.a3＋a5＋a7D.a2＋a7【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a5为定值，逐个选项验证可得．【详解】由等差数列的性质和求和公式可得S99＝12，∴为定值，再由等差数列的性质可知a3＋a5＋a7＝3为定值．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式及性质，准确计算是关键，属基础题．8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵cos2，∴∴1+cosA1，即cosA，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选：B．【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9.数列{an}的通项公式为，若{an}是递减数列，则λ的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】数列{an}是递减数列，可得an＞an+1，化简解出即可得出．【详解】∵数列{an}是递减数列，∴an＞an+1，∴﹣2n2+λn＞﹣2（n+1）2+λ（n+1），解得λ＜4n+2，∵数列{4n+2}单调递增，∴n＝1时取得最小值6，∴λ＜6．故选：C．【点睛】本题考查了数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知an=（n∈N*），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】，该函数在和上都是递减的，在上各项为负值，在上各项为正值，这个数列的前项中的最大项和最小项分别是，故选C.11.等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（）A.50B.75C.100D.125【答案】B【解析】设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，由题意得2x+d=200，3x+3d=225，解得x=125，d=﹣50，故中间的m项的和为75，故选B．12.如图所示，在△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=AD，AB=2AD，则sinB等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意设,则,,在中由余弦定理可得,,在中由正弦定理得,故选C．考点：正余弦定理的综合应用．【思路点晴】本题主要考查的是解三角形以及正余弦定理的应用,属于中档题目．题目先根据设出,从而均可用来表示,达到变量的统一,因此只需列出等式求出的值即可．先由余弦定理求出,接下来由和互补,得出其正弦值相等,再从中使用正弦定理,从而求出．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列为等差数列，若=8,,则的值为_______________【答案】32【解析】【分析】利用等差数列性质求解即可【详解】由等差数列性质知2，解=32故答案为32【点睛】本题考查等差数列的性质，准确计算是关键，是基础题14.一艘船以的速度向正北航行，船在处看见灯塔在船的北偏东方向，1后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离等于_____.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形：∠A＝45°，∠ACB＝105°，推出∠B，求出AC，利用三角形求出CD，然后求BC．【详解】由题意画出图形，如图过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AC＝20×1＝20，∠A＝45°，∴sinA．∴CD＝AC•sinA＝2010．在Rt△BCD中，∠B＝∠PCB﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，∴BC＝2•CD＝2×1020．∴此时船与灯塔的距离BC为20故答案为20【点睛】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，也可以利用正弦定理解答本题，考查计算能力．15.数列的通项公式，则该数列的前8项之和等于______．【答案】【解析】【分析】利用裂项求和即可求数列的和．【详解】由题)则该数列的前8项之和等于故答案为【点睛】本题考查数列求和，考查裂项求和方法，准确计算是关键，是基础题16.已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为__________【答案】91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，可得an+1﹣an＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】∵对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），∴n≥2时，Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，∴an+1﹣an＝2．∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2．则＝1+9×291．故答案为91【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、简答题(本大题共有6个小题，需写出必要步骤，共计70分)17.已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n.【答案】n=26【解析】【分析】由题得求得+，再利用求和公式求n即可【详解】由题知①+②得4（+）=88，得+所以n=26【点睛】本题考查等差数列性质及求和公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题18.设正项数列的前项和满足.（1）求的通项公式;（2）设,求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令，得当时，，得，即可求解；（2），裂项相消求和即可【详解】（1）令，解得当时，，即2）=0，因为，所以，于是有，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，因此.（2）因为，所以==【点睛】本题考查数列通项公式及数列求和，等差数列通项，裂项相消求和，准确计算是关键，是基础题19.已知向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，＝(2，1)．(1)若∥，求sinxcosx的值；(2)若0＜x≤，求函数f(x)＝·的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由向量共线得tanx＝2，再由同角三角函数基本关系得sinxcosx＝，即可求解；(2)整理f(x)＝·＝sin（2x+）+，由三角函数性质即可求解最值【详解】(1)∵∥，∴sinx＝2cosx，tanx＝2.∴sinxcosx＝＝=(2)f(x)＝·＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋(1＋cos2x)=sin（2x+）+∵0＜x≤，∴＜2x+≤.∴sin（2x+）≤1∴1≤f(x)≤.所以f(x)的值域为：【点睛】本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数基本关系式，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题20.在△ABC中，AsinC（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2=b2+ac，即可求得cosB，则B可求；（Ⅱ）由C=-A，代入cosA+cosC整理为sin（A+），由A的范围求其最大值即可【详解】（Ⅰ）∵在△ABC中，由正弦定理可得a2+c2=b2+ac．∴a2+c2-b2=ac，∴cosB=，又B∴B=；（Ⅱ）由（I）得：C=-A，∴cosA+cosC=cosA+cos（-A）=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即ccosA+cosC的最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理及三角函数化简，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题21.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，