四川省阆中中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题 理（含解析）

四川省阆中中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题理（含解析）（总分：150分时间：120分钟）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本试卷卷面分计5分。一、选择题（60分，每小题5分）1.=()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式即可得到结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用，考查特殊角的三角函数值．2.等差数列的前项和，若，则()A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.3.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝()A.(－2，－4)B.(2，4)C.(6，10)D.(－6，－10)【答案】A【解析】分析：利用平面向量的线性运算进行求解．详解：由题意，得．点睛：本题考查平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的基本计算能力．4.已知等差数列中，，（）A.B.C.D.0【答案】B【解析】，∴∴故选：B5.在中，，则这个三角形的最大内角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角满足考点：余弦定理解三角形6.在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是()A.＝(0，0)，＝(1，2)B.＝(－1，2)，＝(5，－2)C.＝(3，5)，＝(6，10)D.＝(2，－3)，＝(－2，3)【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算，计算判别即可．【详解】根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．7.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2θ﹣sin2θ的值，所求式子利用平方差公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系整理后将cos2θ﹣sin2θ的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，∴sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）＝﹣（cos2θ﹣sin2θ）．故选：B．【点睛】本题考查二倍角的余弦函数公式，考查学生的计算能力，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知O是△ABC所在平面上的一点，若=,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，可得，又，从而可得，即AG是BC边上的中线，同理可证BO，CO的延长线也为△ABC的中线，即O为三角形ABC的重心．【详解】解：作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分），∴，又∵，可得：，∴，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．∴O为三角形ABC的重心．故选：C．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的基本运算，同时考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．9.已知数列{}的前n项和满足：，且＝1，那么＝()A.1B.9C.10D.55【答案】A【解析】a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则角B的值为()A.B.C.或D.或【答案】D【解析】试题分析：变形为为或考点：余弦定理11.函数的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，D.－2，【答案】C【解析】试题分析：因为，所以当时，；当时，，故选C．考点：三角函数的恒等变换及应用．【此处有视频，请去附件查看】12.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，得.由已知可得，故的最小正周期.由，知这两个值恰好一个为最小值-3，另一个为最大值1，故，当k=1时，.故选：B二、填空题（20分，每小题5分）13.已知，则_____________．【答案】【解析】试题分析：由于，所以，考点：二倍角的正弦公式14.在等差数列{}中，已知＝16，则该数列前11项和＝___________【答案】88【解析】试题分析：∵，∴．考点：等差数列的性质、等差数列的前n项和．15.已知，是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若·＝0，则实数k的值为________．【答案】【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，，所以即为16.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把…这样的数称为“三角形数”，而把…这样的数称为“正方形数”．如图,可以发现任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①；②；③；④中符合这一规律的等式是________．（填写所有正确结论的编号）……【答案】①③④【解析】【分析】通过已知的等式，找出规律，判断①②③④是否满足规律即可．【详解】解：由已知条件可得如下规律等式4＝1+3，9＝3+6，16＝6+10，25＝10+15，36＝15+2149＝21+2864＝28+36，81＝36+45，．．故答案为①③④【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题（本答题共6个小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角差的正切公式展开，代入已知条件即可求出（Ⅱ）由求出，利用二倍角公式可得的值试题解析：（1）4分（2）①8分又②由①②得12分14分考点：1.同角间的三角函数；2.两角和差的正切；3.二倍角公式18.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，＝(sinx，cosx)，x∈.（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【答案】（1）1；（2）【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，，则，结合三角函数的关系式即可求出的值。（2）本题考察的向量的数量积的问题，若向量与向量的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求出的值。试题解析：（Ⅰ）由题意知∵，∴由数量积坐标公式得∴，∴（Ⅱ）∵与的夹角为，∴又∵，∴∴，即．考点：平面向量数量积的运算19.数列满足：．（1）令，求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由（1）结合等差数列通项公式即可得到结果.【详解】（1）由已知可得，即，所以是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差数列的定义及通项公式，属于基础题.20.设向量＝(sinx，sinx)，＝(cosx，sinx)，（1）若||＝||，求x的值；（2）设函数f(x)＝·，求f(x)的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)直接化简得到，解方程即得x的值.(2)先求出f（x）=,再利用不等式的性质和三角函数的图像性质求出函数的最大值.【详解】（1）由得，又因为所以.又所以（2）函数因为所以，故，,即的最大值为【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.21.已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3.（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为45，求△ABC外接圆半径R的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由已知设，，，即可求出的值；（2）先利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用三角形的面积公式求出的值，进而利用正弦定理即可得△外接圆半径．试题解析：（1）解：因为，所以可设，，，2分由余弦定理得，3分．4分（2）由（1）知，，因为是△的内角，所以．6分由（1）知，，因为△的面积为，所以，8分即，解得．10分由正弦定理，即，11分解得．所以△外接圆半径的大小为．12分考点：1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形的面积公式；4、正弦定理．22.已知等差数列{}的前n项和为，且＝4，＝－5.（1）求数列{}的通项公式；（2）若，求的值和的表达式．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】试题分析：(Ⅰ)先根据已知条件以及等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程组得到和的值，代入等差数列的通项公式化简求解；(Ⅱ)由可知此数列中的数有正有负，所以要想用等差数列的前项和公式求，就要进行分类讨论.先求得的值，然后分和两种情况进行讨论，由等差数列的前项和公式求得时的的表达式，再根据时，求解时的的表达式，最后结果写成分段函数的形式.试题解析：(Ⅰ)等差数列的公差为，则解得，3分则，.5分(Ⅱ)当时，；当时，.7分则.9分当时，；当时，.即.13分考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和公式