四川省阆中中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

四川省阆中中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）（总分：150分时间：120分钟）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页，满分l50分，考试时间l20分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A.20B.16C.18D.14【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求得，然后根据椭圆的定义求得三角形的周长.【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于基础题.2.命题“使得”的否定是（）A.使得B.，使得C.使得D.，使得【答案】D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是全称命题，所以命题p“∃x0＞1，使得x0﹣1≥0“，则￢p为∀x＞1，x﹣1＜0．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.已知函数，则下面各式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵函数∴故选B.4.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得m的值，然后求解渐近线方程即可.详解：由题意结合双曲线的标准方程可知：，则：，双曲线的标准方程为：，双曲线的渐近线方程满足，整理可得渐近线方程为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程．【详解】由题得：，所以：，即所：故准线方程为：．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．6.如图，分别是四面体的边的中点，是的中点，设，用表示，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将表示为的线性和的形式.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.7.设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则=（）A.2B.－2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据除法求导运算，求得曲线的导函数，进而得到直线的斜率。由两条直线平行，可得两条直线斜率相等，因而求得a的值。【详解】对曲线求导，可得，在点P处切线的斜率为直线方程可化为y＝ax＋1若与直线平行，则两条直线的斜率相等所以所以选D【点睛】本题考查了曲线求导的基本运算，求过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题。8.已知函数的图象如图所示，其中为函数的导函数，则的大致图象是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对分成，结合题目所给的图像，判断出在上述范围内的正负值，得出函数的单调区间，由此确定函数的图像.【详解】根据题目所给的图像，当时，，故，函数单调递增.当时，，故函数单调递减.当时，，故函数单调递增.故B选项符合题意.选B.【点睛】本小题主要考查利用函数图像判断导函数的正负，由此得出原函数的单调性及图像，属于基础题.9.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A.B.8C.0D.32【答案】A【解析】【分析】先利用导数求得的值，然后求得的值.【详解】依题意，所以，即，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题.10.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A.8B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出直线与平面所成的角，然后计算出长方体的高，进而计算出长方体的体积.【详解】连接，由于平面，所以是直线与平面所成的角，即，所以，解得.所以长方体的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查线面角的定义以及画法，考查长方体体积计算，属于基础题.11.已知函数f(x)=lnx-x，若在△ABC中，角C是钝角，则()A.f(sinA)f(cosB)B.f(sinA)f(cosB)C.f(sinA)f(sinB)D.f(sinA)f(sinB)【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数的单调性，再由对角三角形和正弦函数的性质，求得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则，当时，，所以函数为单调递增函数，当时，，所以函数为单调递减函数，又由中，角C为钝角，所以，即，则，且，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较大小问题，其中根据钝角三角形和正弦函数的性质，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集。【详解】由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减。又因为，则。所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【点睛】本题考查不等式求解和构造函数问题，主要根据已知条件构造出合适的函数，再根据的单调性，转化为，便可求解。本题综合性较强，有一定难度，突破点在于是否能构造出合适的函数，属中档题。二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小.【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为，故，所以，设直线和直线所成角为，则，所以.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间向量的运算，属于基础题.14.已知是上的单调增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求导函数，利用导数与函数单调性的关系和二次函数的性质，即可求解.【详解】已知,，是上的单调增函数，恒成立，，解得.的取值范围是故答案为.【点睛】本题考查函数的单调性，利用导数解决含有参数的函数单调性问题，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.15.已知曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值为________．【答案】或【解析】试题分析：因为，所以，又，所以切线方程为，，当时，，当时，，切线与坐标轴围成的三角形的面积为得或，故答案为或.考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、三角形的面积公式.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、三角形的面积公式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16.已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线左支上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义知，可得，当且仅当，即时取得等号再由，结合可得离心率的取值范围．【详解】由定义知：，，，当且仅当，即时取得等号，此时，因为，所以可得，，又双曲线的离心率，,故答案为．【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率与几何性质，以及基本不等式的应用，属于难题．求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.三、解答题：共70分（17题满分10分，其余各题满分各12分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．【解析】【分析】设出椭圆的标准方程，根据2a，2c所表示的几何意义求得a，c的值，再根据椭圆，求得b2的值，进而可得到椭圆的标准方程；先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，结合双曲线，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程．【详解】设椭圆标准方程为，则焦距为4，长轴长为6，，，，椭圆标准方程为；双曲线双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，可得，将点代入双曲线方程可得，，解得，，即有所求双曲线的方程为：．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.18.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）以B1为原点建立空间直角坐标系，求出面平面A1B1C1的法向量,由即可证得；（2）求得平面MB1C的法向量为，利用法向量夹角的余弦值可求二面角的余弦值.【详解】（1）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系则.设平面A1B1C1的法向量为.令，则.，平面A1B1C（2）平面MB1C的法向量为.令，，所求二面角M—B1C—A1的余弦值为【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直和求二面角，属于基础题.19.已知函数，曲线在点处的切线方程为，处有极值．（1）求的解析式．（2）求在上的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．【详解】，．曲线在点P处的切线方程为，即在处有极值，所以，由得，，，所以由知．令，得，．当时，，单调递增；当时，；单调递减；当时，，单调递增.．又因，所以在区间上的最小值为．【点睛】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，，，分别是棱，，的中点．（）求证：平面．（2）如果，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)取中点，连接,通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（2）先计算出的面积，然后计算出三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】（）取中点，连接，，∵，为，中点，∴，且，∵，，∴，∴为平行四边形，∴，面，面，∴面．（2），，∴，∵，为中点，∴，∵面，∴．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥体积计算，属于中档题.21.已知抛物线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合）．设直线，的斜率分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设直线MN的方程为，代入，利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求得为定值.【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得。所以，．所以,所以为定值-2．【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系，斜率坐标公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.22.设函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为．（2）．【解析】试题分析：（1），单调递减区间为；（2），令，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，则，所以的取值范围是。试题解析：（1）函数的定义域为∵∵，则使的的取值范围为，故函数的单调递减区间为（2）∵∴令，∵，且由得，得。∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，故在区间内恰有两个相异实根即，解得：综上所述，的取值范围是