四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）

四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1.若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.32.点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（）A.B.2,C.D.2,3.已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为-，则直线l的方程为（）A.B.C.D.4.已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0），则m=（）A.2B.3C.4D.95.若，则cos2θ=（）A.B.C.D.6.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A.B.C.D.7.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为（）A.3B.C.1D.8.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=（）A.或12B.2或C.或D.2或129.已知双曲线-=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.10.曲线与直线y=k（x-2）+4有两个不同交点，实数k的取值范围是（）A.B.C.D.11.已知椭圆C：的焦距为，椭圆C与圆（x+）2+y2=16交于M，N两点，且|MN|=4，则椭圆C的方程为（）A.B.C.D.12.已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点B到抛物线的准线的距离为（）A.6B.5C.4D.3二、填空题（本大题共4小题）13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为______14.已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前n项和等于______．15.过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于______．16.如图，已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在PF1上的切点为Q，若PQ=1，则双曲线的离心率是______．三、解答题（本大题共6小题）17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18.在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：-=1（m＞0，n＞0）经过点（，0），其中一条近线的方程为y=x，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点．椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程．20.已知点M（3，1），及圆（x-1）2+（y-2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若过M点的直线与圆相交，截得的弦长为，求直线的方程．21.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．22.已知椭圆的长轴长为4，焦距为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为A′（3，2，-1）．故选：D．根据点A（a，b，c）关于xOy平面的对称点为A′（a，b，-c），写出即可．本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案．【解答】解：∵直线l经过点P（-2，5），且斜率为-，∴直线l的点斜式方程为y-5=（x+2），整理得：3x+4y-14=0．故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0），可得25-m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（-4，0），∴25-m2=16，∵m＞0，∴m=3.故选B．5.【答案】D【解析】解：∵，∴cos2θ===．故选：D．由已知利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（-1，1），∴，即∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：，三棱锥A-B1DC1的体积为：=1，故选C．8.【答案】D【解析】解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为-=1，故选：D．10.【答案】D【解析】解：与可化为x2+（y-1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x-2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个，∵kAP═=，由直线与圆相切得d═=2，解得k=，则实数k的取值范围为．故选：D．先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．11.【答案】D【解析】解：圆（x+）2+y2=16的圆心为（-，0），半径为4，且c=，由椭圆和圆都关于x轴对称，且|MN|=4，可设y=2，代入圆的方程可得x=-±=或-3，由2c＜4，可得M，N在第一、四象限，可设M（，2），代入椭圆方程得+=1，又c2=3=a2-b2，解得a=3，b=，则椭圆方程为+=1．故选：D．求得圆的圆心和半径，由椭圆和圆都关于x轴对称，且|MN|=4，可设y=2，代入圆的方程，求得x，结合条件可设M（，2），代入椭圆方程，可得a，b的方程，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b的值，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的运用，注意对称性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=-2，直线y=k（x+2）恒过定点P（-2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴|AM|=6，∴点B到抛物线的准线的距离为xB+=1+2=3，故选：D．根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点B到抛物线的准线的距离．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：在正方体体ABCD-A1B1C1D1中，连接BE，所以异面直线AE与CD所成角，即为AE和AB所成的角．设正方体的棱长为2，由于AB⊥平面BCE，所以△ABE为直角三角形．所以，所以．故答案为：直接利用异面直线的平移的应用和解三角形知识的应用求出结果．本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】2n-1【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，是基本知识的考查．利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和．【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{an}的前n项和为：=2n-1．故答案为：2n-1．15.【答案】【解析】【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-，即可求出椭圆C的离心率．本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=-（x-1）+1，∴y1-y2=-（x1-x2），∵过点M（1，1）作斜率为-的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．16.【答案】2【解析】解：如图记AF1、AF2与△APF1的内切圆相切于N、M；则AN=AM，PM=PQ，NF1=QF1，AF1=AF2；则NF1=AF1-AN=AF2-AM=MF2；则QF1=MF2；则PF1-PF2=（QF1+PQ）-（MF2-PM）=QF1+PQ-MF2+PM=PQ+PM=2PQ=2，即2a=2，则a=1．由F1F2=4=2c得，c=2；则e===2．故答案为：2．由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率．本题考查了学生的作图能力及识图能力，要从图中找到等量关系从而求出a，属于难题．17.【答案】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=-7，S3=-15，∴a1=-7，3a1+3d=-15，解得a1=-7，d=2，∴an=-7+2（n-1）=2n-9；（2）∵a1=-7，d=2，an=2n-9，∴Sn===n2-8n=（n-4）2-16，∴当n=