四川省成都石室中学2019届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）

四川省成都石室中学2019届高三数学第二次模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1B.−1C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cossin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cossin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A.3B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得等比数列{an}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{an}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A.2种B.10种C.12种D.14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，故选：B．【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A.3B.C.2D.-3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为PA⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。11.已知平面向量，，满足，，，，则的最大值为（）A.-1B.-2C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意不妨设＝（1，0），＝（2，m），＝（﹣1，n），利用求出的解析式，再由基本不等式求出最大值．【详解】由,不妨设＝（1，0），又，，可设＝（2，m），＝（﹣1，n），则＝（1，m+n），又，∴1+（m+n）2＝4，∴（m+n）2＝3；∴＝﹣2+mn≤﹣2+＝﹣2+＝﹣，当且仅当m＝n时取“＝”；∴的最大值为﹣．故选：D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算与基本不等式的应用问题，是综合题．12.已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令f（x）﹣g（x）＝2x+e2x﹣a﹣1n（2x+2）+4ea﹣2x，用导数求出y＝2x﹣ln（2x+2）的最小值；运用基本不等式得e2x﹣a+4ea﹣2x≥4，从而可证明f（x）﹣g（x）≥3，由等号成立的条件，从而解得a．【详解】令f（x）﹣g（x）＝2x+e2x﹣a﹣1n（2x+2）+4ea﹣2x，令y＝2x﹣ln（2x+2），y′＝2﹣＝，故y＝2x﹣ln（2x+2）在（﹣1，﹣）上是减函数，（﹣，+∞）上是增函数，故当x＝﹣时，y有最小值﹣1﹣0＝﹣1，而e2x﹣a+4ea﹣2x≥4（当且仅当e2x﹣a＝4ea﹣2x，即x＝（a+ln2）时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x＝（a+ln2）＝﹣，即a＝﹣1﹣ln2．故选：A．【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：73270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】【解析】由随机数表可知,共有20个随机事件,其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件,因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.故答案为14.在的展开式中，常数项为__________．【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点，则蚂蚁所经过路程的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值．【详解】由题目所给三视图可知该几何体为圆锥的一半，展开图如图所示，依题意，蚂蚁经过的路程的最小值为线段AM的长度，因为PA=PB=2,侧面展开图的半径为2，弧长为π，∴圆心角为，因为,所以,在中，根据余弦定理知蚂蚁所经过路程的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查立体图形转为平面图形以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力．16.四边形中，，，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，在△ABC中，由余弦定理得AC2,由正弦定理得sinβ＝,在△BCD中，由余弦定理得BD2然后由正弦函数图像的性质可得最大值.【详解】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10﹣6cosα．由正弦定理得，即sinβ＝,∵,，∴CD=在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β），即DB2＝9++2×3××＝-2cosα+2sinα＝+4sin（）∴当α＝时，对角线BD最大，最大值为，则的最大值为,故答案为：【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的应用，考查正弦函数的性质，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在斜三角形中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的周长.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值即可得C值．（Ⅱ）在中，利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【详解】（Ⅰ）∵，即，又在斜三角形中，，所以，即，亦即，因为，所以.（Ⅱ）在中，，，则，由正弦定理，得，故，.所以的周长为.【点睛】本题考查两角和差的正切、正弦公式，诱导公式，正弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题．18.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球、两个“”号球、三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球、五个“”号球，每次摸奖后放回，消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元、“”号球奖元、“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金.（Ⅰ）经统计，消费额服从正态分布，某天有为顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数；（Ⅱ）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.附：若，则【答案】(Ⅰ)286;(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)这位顾客选方法二所得的期望值较大.【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意得μ=150，σ2=625，得σ=25，100=μ﹣2σ，消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1000×P（μ﹣2σ＜X≤μ），可得其中中奖的人数．（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3，0.6），，（k=0，1，2，3），即可得出．（Ⅲ）利用数学期望的计算公式即可得出．试题解析：（Ⅰ）依题意得，得，消费额在区间