四川省2019年中考数学试题研究 二次函数综合题题库

题型五二次函数综合题类型一线段数量关系与最值关系1.如图,抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)在抛物线对称轴上是否存在点M,使|MA－MC|最大？若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3,0）,B（1,0）,∴01039cbcb,解得34cb,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;（2）令x=0,则y=3,∴点C（0,3）,则直线AC的解析式为y=−x+3,设点P（x,x2−4x+3）,∵PD∥y轴,∴点D（x,−x+3）,∴PD=（−x+3）−（x2−4x+3）=−x2+3x=−（x−23）2+49,∵a=−1＜0,∴当x=23时,线段PD的长度取最大值,最大值为49;（3）存在.由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分AB,∴MA=MB,当M、B、C不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,|MA−MC|=|MB−MC|＜BC,当M、B、C三点共线时,|MA−MC|=|MB−MC|=BC,∴|MA−MC|≤BC,即当点M在BC的延长线上时,|MA−MC|最大,最大值即为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）,∵B（1,0）,C（0,3）,则30bbk,解得33bk,∴直线BC的解析式为y=−3x+3,∵抛物线的对称轴为x=2,∴当x=2时,y=−3×2+3=−3,∴点M（2,−3）,即抛物线对称轴上存在点M（2,−3）,使|MA−MC|最大．2.如图,抛物线y＝−41x2＋bx＋c的图象过点A（4,0）,B（−4,−4）,且抛物线与y轴交于点C,连接AB,BC,AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点,求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过E作y轴的平行线,分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E,使DE＝2DF？若存在,请求出点E的坐标；若不存在,请说明理由.第2题图解：（1）∵抛物线y＝−14x2＋bx＋c的图象经过点A(4,0),B(−4,−4),∴444044cbcb,解得221cb,∴抛物线的解析式为y＝−14x2＋12x＋2；（2）由抛物线y＝−14x2＋12x＋2可得,该抛物线的对称轴为直线x＝−122×（－14）＝1,点C的坐标为(0,2),如解图,作点C关于对称轴x＝1的对称点C′,则C′的坐标为(2,2),连接BC′,即BC′＝（2＋4）2＋（2＋4）2＝62,BC′与对称轴的交点即为所求点P,连接PC,此时△PBC的周长最小．第2题解图设直线BC′的解析式为y＝kx＋m,∵点B(−4,−4),C′(2,2),∴2244mkmk,解得01mk,∴直线BC′的解析式为y＝x,将x＝1代入y＝x,得y＝1,∴点P坐标为(1,1),∵点B(−4,−4),C(0,2),∴BC＝42＋（2＋4）2＝213,∴此时△PBC的周长＝CP＋BC＋PB＝BC＋BC′＝213＋62,∴△PBC周长的最小值为213＋62,此时点P坐标为(1,1)；（3）存在.假设存在点E,使DE＝2DF,由点A(4,0),B(−4,−4)可得直线AB的解析式为y＝12x−2,设点E(x,12x−2),则D(x,0),其中−4x4,则F(x,−14x2＋12x＋2),DE＝|12x−2|＝2−12x,DF＝|−14x2＋12x＋2|,当2−12x＝2×(−14x2＋12x＋2)时,即点F位于x轴上方,解得x1＝−1,x2＝4(舍去),将x＝−1代入y＝12x−2,得到y＝−52,∴E(−1,−52).当2−12x＝2×(−1)×(−14x2＋12x＋2)时,即点F位于x轴下方,解得x1＝−3,x2＝4(舍去),将x＝−3代入y＝12x−2,得到y＝−72,∴E(−3,−72)．综上所述,存在这样的点E,其坐标为(−1,−52)或(−3,−72)．类型二面积数量关系与最值关系3.如图,已知抛物线y=−21x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD=1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.（1）求抛物线的解析式;（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大,最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P（点E除外）,使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.第3题图解：（1）∵OB=8,tan∠ABD=1,∴OA=OB=8,∴A（0,8）,B（8,0）.把点A（0,8）,B（8,0）代入y=−21x2+bx+c得0882182cbc,解得83cb,∴抛物线解析式为y=21-x2+3x+8;（2）令y=0,有−21x2+3x+8=0,解得x1=−2,x2=8,∴E（−2,0）,∴BE=10,∵S△CED=21DE×OC,∴S=21t×（10−t）=−21t2+5t,∴S与t的函数关系式为S=−21t2+5t=−21（t−5）2+225（0≤t≤8）,∵021a,∴当t=5时,△CED的面积最大,最大面积为225;（3）存在.当△CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时要使S△PCD=S△CED,CD为公共边,只需求出过点B、或过点E且平行于CD的直线即可,如解图：第3题解图设直线CD的解析式为y=kx+b,由（2）可知OC=5,OD=3,∴C（0,5）,D（3,0）,把C（0,5）、D（3,0）代入得035bkb,解得535bk,∴直线CD的解析式为y=−35x+5,∵DE=DB=5,∴过点B且平行于CD的直线为y=−35（x−5）+5,过点E且平行于CD的直线为y=−35（x+5）+5,分别与抛物线解析式联立得：方程①：−21x2+3x+8=−35（x−5）+5,解得x1=8,x2=34,方程②：−21x2+3x+8=−35（x+5）+5,解得x3=334,x4=−2,分别将x的值代入抛物线的解析式,得y1=0,y2=9100,y3=−9200,y4=0,又∵P点不与E点重合,∴满足题意的P点坐标有3个,分别是P1（8,0）,P2（34,9100）,P3（334,−9200）.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OB＝8,OC＝6.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN存在时,求运动多少秒使△MBN的面积最大,最大面积是多少？(3)在(2)的条件下,△MBN面积最大时,在BC上方的抛物线上是否存在点P,使△BPC的面积是△MBN的面积的9倍,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．第4题图解：(1)∵OA＝2,OB＝8,OC＝6,∴根据函数图象得A(－2,0),B(8,0),C(0,6),将A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中得：6,0864024ccbacba解得:6,4983cba∴抛物线的解析式为649832xxy；(2)设运动时间为t秒,则AM＝3t,BN＝t,MB＝10－3t,在Rt△BOC中,BC=2268=10,如解图①,过点N作NH⊥AB于点H,第4题解图①∴NH∥CO,∴△BHN∽△BOC,∴BCBNOCHN,即106tHN,∴tHN53,∴ttHNMBSMBN533102121△tt31092235109t25,∵当△MBN存在时,0＜t＜310,∴当t=35时,S△MBN最大,最大面积是25,即运动35秒使△MBN的面积最大,最大面积是25；(3)存在．设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0),把B(8,0),C(0,6)代入,得,608cck解得,643ck∴直线BC的解析式为643xy,∵点P在抛物线上,∴设P64983-2mmm，,如解图②,过点P作PE∥y轴,交BC于点E,第4题解图②则E点的坐标为643,mm,∴mmmmmEP3836436498322,当△MBN的面积最大时,S△BPC＝9S△MBN＝245,∵BEPCEPBPCSSS△△△mmEPmEPmEP3834821821212mm12232,∴24512232mm,解得m1＝3,m2＝5,当m1＝3时,875649832mm,当m2＝5时,863649832mm,∴8635875,3，或P.类型三相似三角形存在性问题5.如图,已知直线y1=21x+b和抛物线y2=−45x2+ax+b都经过点B（0,1）和点C,过点C作CM⊥x轴于点M,且CM=25.(1)求出抛物线的解析式;(2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM向点M运动,过点P作PE⊥x轴分别交抛物线和直线于点E,F.当点P运动多少秒时,四边形EFMC为菱形?(3)在(2)的条件下,在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与△AMC相似？若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图解：（1）把B(0,1)代入y1=21x+b,得b=1,∴y1=21x+1,把y=25代入y1=21x+1得x=3,∴C（3,25）,把B(0,1),C（3,25）代入y2=−45x2+ax+b得,2534451bab,解得4171ab,∴y2=−45x2+417x+1.（2）∵四边形EFMC为菱形,则EF=FM=CM=25,设P(t,0),则EP=−45t2+417t+1,FP=21t+1,MP=3−t,则EF=EP−FP=−45t2+417t+1−21t−1=−45t2+415t,FM=10545222ttPMPF,∴−45t2+415t=25①,105452tt=25②,解①得t=1或t=2,解②得t=1或t=3,要使①,②同时成立,则t=1,即当点P运动1秒时,四边形EFMC为菱形;（3）存在.由（2）可知t=1,∴点F的横坐标为1,将x=1代入y1=21x+1中,得y1=23,将x=1代入y2=−45x2+417x+1中,得y2=4.∴点E（1,4）,F（1,23）,将y=0代入y1=21x+1中,得x=−2,∴点A的坐标为（−2,0）,①如解图,过点E作EQ1⊥CF于点Q1,第5题解图∵四边形EFMC为菱形,∴∠ECF=∠ACM,FE=EC,∴∠EFC=∠ECF=∠ACM,又∵∠EQ1F=∠AMC=90°,∴△EQ1F∽△AMC,∵EF=EC,EQ1⊥CF,∴Q1为CF的中点,∵F（1,23）,C（3,25）,∴点Q1的坐标为（2,2）;②如解图,过点E作EQ2//x轴,交直线BC于点Q2,∵EQ2//x轴,∴∠EQ2F=∠CAM,∠Q2EF=∠FPA=90°,∴∠Q2EF=∠AMC=90°,∴△EQ2F∽△MAC,又∵E（1,4）,∴设Q2（x,4）,将y=4代入y1=21x+1,得x=