上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）

上海市杨浦区2020届高三数学上学期期中质量调研试题（含解析）一、填空题1.函数()2fxx的定义域是__________.【答案】[2,)【解析】试题分析：要使()2fxx有意义，则，即，即该函数的定义域为[2,)；故填[2,)．考点：函数的定义域．2.方程lg(23)2lgxx的解为________.【答案】3【解析】【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解.【详解】解:解方程lg(23)2lgxx,可得2lg(23)lgxx,所以2230023xxxx,解得32013xxxx或,即3x,故答案为:3.【点睛】本题考查了解对数方程，重点考查了对数函数的定义域，属基础题.3.如图，在正方体1111ABCDABCD中，直线1BC与平面11BBDD所成的角等于____．【答案】6【解析】【详解】正方体1111ABCDABCD中，连接11AC交11BD于点M，连接MB，由题可得：11AC11BD，11AC1BB,所以直线11AC平面11BBDD,所以直线1BC与平面11BBDD所成的角等于MBC1,设正方体1111ABCDABCD的边长为a，所以122aMC，12BCa，所以1111sin2MCMBCBC,所以16MBC【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。4.已知角的终边经过点(1,2)P(始边为x轴正半轴)，则sin2________.【答案】45【解析】【分析】由三角函数的定义可得：25sin5，5cos5，由正弦的二倍角公式可得：sin22sincos，再代入运算即可.【详解】解：因为角的终边经过点(1,2)P，由三角函数的定义可得22225sin5(1)2，2215cos5(1)2则2554sin22sincos2()()555，故答案为：45.【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式，属基础题.5.在101()xx的展开式中，常数项等于_______.（结果用数值表示）【答案】252【解析】【分析】先求出二项式101()xx的展开式的通项公式为10102110101()(1)rrrrrrrTCxCxx，再令1020r，求解代入运算即可.【详解】解：由二项式101()xx的展开式的通项公式为10102110101()(1)rrrrrrrTCxCxx，令1020r，解得=5r，即在101()xx的展开式中，常数项等于5510109876(1)25254321C，故答案为：252.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.6.若0,0xy，且21xy，则xy的最大值为______．【答案】18【解析】【详解】根据题意，由于0,0xy，且21xy，那么可知1＝2x＋y≥22xy,∴xy≤18,因此答案为18.考点：均值不等式的运用点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。7.已知幂函数()yfx的图象经过点(4,2)P，则它的反函数1()fx为________.【答案】12(),(0)fxxx【解析】【分析】由函数()yfx为幂函数，设yx，将已知条件代入可得12yx，0y,再用y表示x，从而求得函数的反函数.【详解】解：因为函数()yfx为幂函数，设yx，则24，则12，即幂函数解析式为12yx，0y,即2xy，即函数12yx的反函数为12(),(0)fxxx，故答案为：12(),(0)fxxx.【点睛】本题考查了幂函数及反函数的求法，属基础题.8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种.（用数值表示）【答案】30【解析】【分析】由题意可知，任取5个不同的数，中位数为4，则等价于应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，再结合组合知识求解即可.【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4，则应在1，2，3中取2个数，在5，6，7，8，9中取2个数，即不同的取法有223531030CC，故答案为：30.【点睛】本题考查了排列、组合的有关知识，重点考查了中位数的概念，属基础题.9.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65、面积为15，则该圆锥的体积为________.【答案】12【解析】【分析】先由扇形的圆心角为65、面积为15，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：由扇形的面积公式212SR有：2161525R，解得5R，由弧长公式有lR，即6565l，即该圆锥的母线长为5，底面圆周长为6，即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为22534，由圆锥的体积公式可得2134123V，故答案为：12.【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式，重点考查了运算能力，属基础题.10.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b，sin3cosABab，则ABC的面积的最大值等于________.【答案】3【解析】【分析】由正弦定理可得3B，由余弦定理及重要不等式可得4ac，再结合三角形面积公式即可得解.【详解】解：因为sin3cosABab，由正弦定理可得sin3cossinsinABAB，所以tan3B，又0,B，所以3B，由余弦定理可得2222cosbacacB可得，224acac，即222242acacacacac，当且仅当ac=2时取等号，即4ac，又1sin2ABCSacB，所以134322ABCS，即ABC的面积的最大值等于3，故答案为：3.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，重点考查了重要不等式，属中档题.11.在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：①偶函数()fx在区间[,]ab（ab）上的取值范围与在区间[,]ba上的取值范围是相同的；②周期函数()fx在一个周期内的取值范围也就是()fx在定义域上的值域，由此可求函数()2|sin|19|cos|gxxx的值域为________.【答案】[2,365]【解析】【分析】先阅读题意，再将问题转化为求函数()2sin19cos,0,2hxxxx的值域，再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.【详解】解：因为()2|sin|19|cos|gxxx的周期为，且为偶函数，则由题意可得：()2|sin|19|cos|gxxx的值域即为()2sin19cos,0,2hxxxx的值域，又192()2sin19cos365sin(),(sin,cos)365365hxxxx，又因为0,2x，所以,2x，则当sin()1x时，函数()hx取最大值365，又19365sin36519365，2365sin()365cos36522365，则函数()hx最小值为2，即函数()hx的值域为2,365，即函数()2|sin|19|cos|gxxx的值域为2,365，故答案为：2,365.【点睛】本题考查了函数性质的应用，考查了三角函数值域的求法，属中档题.12.定义在实数集R上的偶函数()fx满足2(1)12()()fxfxfx，则2019()2f________.【答案】222【解析】【分析】先由已知可得22(1)2(1)[()2()]1fxfxfxfx，再构造2()()2()gxfxfx，然后可得函数()gx的周期性和奇偶性，再利用函数()gx的性质得2201920191()2()222ff，再求解即可.【详解】解：因为2(1)12()()fxfxfx，所以2(1)12()()fxfxfx，即22((1)1)2()()fxfxfx，即22(1)2(1)[()2()]1fxfxfxfx，令2()()2()gxfxfx，则(1)()1gxgx，可得函数()gx的周期为2，所以201911()(2505)()222ggg，又为()fx偶函数，则2()()2()gxfxfx为偶函数，又因为11()()122gg，所以11()22g，即20191()22g，即2201920191()2()222ff，解得201922()22f，又2(1)12()()1fxfxfx，即2019()12f，即201922()22f，故答案为：222.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型.二、选择题13.已知xR，则“sin1x”是“cos0x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】由sincosxx，的平方关系：22sincos1xx运算即可得解.【详解】解：由22sincos1xx，当“sin1x”时可得“cos0x”，当“cos0x”时可得“sin1x”，即“sin1x”是“cos0x”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查了sincosxx，的平方关系，重点考查了充分必要条件的判定，属基础题.14.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（）A.221201935CCCB.555392019CCCC.514413920192019CCCCCD.233220192019CCCC【答案】D【解析】【分析】从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分选出的5人为2女3男，和3女2男两种情况讨论即可.【详解】解：从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，当选出的5人为2女3男时，共有不同选法为232019CC种，当选出的5人为3女2男时，共有不同选法为322019CC种，即从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有233220192019CCCC种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合中的分类原理，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.15.已知二面角l是直二面角，m为直线，为平面，则下列命题中真命题为（）A.若m，则mB.若m，则m∥C.若m∥，则mD.若∥，则【答案】D【解析】【分析】由二面角l是直二面角，则，再结合空间中的线面关系，线线关系，线面垂直、平行的性质定理，判定定理判断即可得解.【详解】解：对于选项A，若m，则m与相交或m或m∥，即A错误；对于选项B，若m，则m∥或m，即B错误；对于选项C，若m∥，则m与相交或m或m∥，即C错误；对于选项D，若∥，则，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了空间线线、线面、面面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.16.记有限集合M中元素的个数为||M，且||0，对于非空有限集合A、B，下列结论：①若||||AB，则AB；②若||||ABABUI，则AB；③若||0ABI，则A、B中至少有个是空集；④若AB，则