上海市徐汇区2019届高三数学上学期期末学习能力诊断试题（含解析）

上海市徐汇区2019届高三数学上学期期末学习能力诊断试题（含解析）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.设，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将题目所给两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要性，由此得出正确选项.【详解】当“”时，“”成立；当“”时，可以为，即不能推出“”，故应选充分不必要条件，所以选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值以及终边相同的角.属于基础题.2.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A.16B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，．故选：C．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．3.对于函数，如果其图象上的任意一点都在平面区域内，则称函数为“蝶型函数”，已知函数：；，下列结论正确的是A.、均不是“蝶型函数”B.、均是“蝶型函数”C.是“蝶型函数”；不是“蝶型函数”D.不是“蝶型函数”：是“蝶型函数”【答案】B【解析】【分析】由，，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断；由平方差公式，化简结合“蝶型函数”可判断．【详解】由，设，导数为，即有，；时，；设，其导数为，时，，时，，可得恒成立，即有为“蝶型函数”；由，可得为“蝶型函数”．故选：B．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．4.已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，若对任意的，都有，则的值不可能为A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能为．【详解】数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，对任意的，都有，，，，当时，成立；当时，成立；当时，成立；当时，不成立．的值不可能为．故选：D．【点睛】本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.6.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【详解】；．故答案为：．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算．7.若实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式可得．【详解】，，当且仅当时，取等，故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．8.若数列的通项公式为，则______．【答案】-1【解析】【分析】利用行列式求出数列的通项公式，然后利用数列的极限求解即可．【详解】数列的通项公式为，则．故答案为：．【点睛】本题考查数列的极限的求法，通项公式的求法，考查计算能力．9.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，是的一个法向量已知数列满足：对任意的正整数n，点均在上，若，则的值为______．【答案】-2【解析】【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得，则数列为公比q为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【详解】直线经过坐标原点，是的一个法向量，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，点均在上，可得，即有，则数列为公比q为的等比数列，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．11.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______结果用数值表示【答案】-84【解析】【分析】由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为求得r，则答案可求．【详解】由题意，，得．，其二项展开式的通项．由，得．展开式中含项的系数是．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：等级ABCDE分数7067646158555249464340上海某高中2018届高三班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为______人【答案】15【解析】【分析】设取得A成绩的x人，取得成绩的y人，取得B成绩的z人，由题意可得：，解得：，结合x，y，，可求的最．【详解】设取得A成绩的x人，取得成绩的y人，取得B成绩的z人，则，即，又x，y，，即当且仅当，，时，取得最小值15，取得A成绩的0人，取得成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：15【点睛】本题考查了实际问题通过数学问题解决，考查了阅读理解及数学建模的能力，属中档题．13.已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______．【答案】【解析】【分析】先根据偶函数性质求出上的解析式，再根据周期为2求出上的解析式，最后求出反函数．【详解】当时，，，当时，，．，，，故答案为：，【点睛】本题考查了反函数，考查基本分析求解能力，属基础题．14.若函数的值域是，则的最大值是________．【答案】【解析】令，可得或者，的值为……两个相邻的值相差，因为函数的值域是,所以的最大值是，故答案为.15.已知λ∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）的图象与x轴恰有两交点，则实数λ的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．【详解】函数的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．16.已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意可知，，，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解【详解】由题意可得，，，，，，为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，已知正方体的棱长为1．正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？若M，N分别是，的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】利用列举法能求出直线是异面直线的棱所在直线．，N分别是，的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC所成角的大小．【详解】正方体中，直线是异面直线的棱所在直线有：AD，，CD，，，，共6条．，N分别是，的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，1，，1，，，，1，，1，，，0，，设异面直线MN与BC所成角的大小为，则，，异面直线MN与BC所成角的大小为．【点睛】本题考查异面直线的判断，考果异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．18.已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】由题意可得，对a讨论，可得所求解集；求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范围．【详解】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．19.我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．求海域ABCD的面积；现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【答案】（1）平方海里；（2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．.【解析】【分析】利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积；由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD内．【详解】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由，点不在区域ABCD内，由，点也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．20.已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值．若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】先根据已知条件可求出a、c的值，结合a、b、c的值可得出b的值，进而可求出椭圆的标准方程；先得出直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标，利用中点坐标公式可得出点M的坐标，根据已知条件可得出点N的坐标，再将点N的坐标代入椭圆的方程，即可求出k的值；利用原点O到直线l的距离可得出，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，结合的取值范围可得出的取值范围，并求出线段AB的长度的表达式，可求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围．【详解】由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，，则，因此，椭圆的方程为；当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为，则，直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，．设点、，将直线l的方程代入椭圆方程并化简得，由韦达定理可得，，，由于，即，解得，线段AB的长为，所以，．因此，的面积S的取值范围是．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．21.已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：，为正整数；或1，其中，3，，；任取数列中的两项，，剩下的项中一定存在两项，，满足，则称数列为数列．若数列是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列是否是数列，并说明理由．当时，设数