上海市市北中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市市北中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知集合{|12}Axx，1,0,1,2,3B，则AB______．【答案】0,1【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】解：0,1AB．故答案为：0,1．【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．2.不等式|1|||xx的解集为_______.【答案】1(,)2【解析】【分析】根据不等式的性质，两边平方即可去掉绝对值号，即可求解.【详解】因为|1|||xx，所以22(1)()xx，即210x，解得12x，所以不等式解集为1(,)2.故答案为：1(,)2【点睛】本题主要考查了利用平方去掉绝对值，解绝对值不等式，属于中档题.3.已知函数yfx的图像与函数xya(0,1)aa的图像关于直线yx对称，且点4,2P在函数fx的图像上，则实数a________【答案】2【解析】【分析】由题意可知函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，求出y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案．【详解】∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，∴函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，由y=ax（a＞0且a≠1），得x=logay，则f（x）=logax，∵点P（4，2）在函数y=f（x）的图象上由f（4）=2，得loga4=2，解得：a=2．故答案为2．【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.4.角的终边经过点4,Py，且3sin5，则tan______．【答案】34【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan的值．【详解】解：角的终边经过点4,Py，且23sin516yy，3y，则3tan44y，故答案为：34．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数cos2xy，4[,]32x的最小值为________.【答案】12【解析】【分析】根据角的范围求出2x的范围，利用余弦函数的性质即可求解.【详解】因为4[,]32x，所以2[,]234x，所以12cos()coscos01232x，即cos2xy的最小值为12.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，属于中档题.6.已知函数()(1)xxfxaka（0a且1a）是定义域为R的奇函数，则k的值为________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义()()fxfx即可求解.【详解】因为函数()(1)xxfxaka（0a且1a）是定义域为R的奇函数，所以()(1)[(1)]()((1)]xxxxxxfxakakaafxaka所以11k，即2k，故答案为：2【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，利用奇函数性质求参数，属于中档题.7.已知无穷等比数列na的各项和为4，则首项1a的取值范围是__________．【答案】(0,4)(4,8)【解析】【分析】由无穷等比数列na的各项和为4得,141aq,，||1q且0q,从而可得1a的范围.【详解】由题意可得,14,||11aqq，且0q14(1)aq108a且14a故答案为:(0,4)(4,8)【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q且0q时前n项和的极限，属于基础题.8.若向量a、b满足()7abbrrr，且||3ar，||2b，则向量a在b上的投影为_______.【答案】32【解析】【分析】根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解.【详解】因为()7abbrrr，所以27abb，又||3ar，||2b，所以227ab，即3ab，所以向量a在b上的投影为32||abb，故答案为：32【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题.9.若0a，0b且123ab，则ab的最大值为________.【答案】98【解析】【分析】根据均值不等式即可求出ab的最大值.【详解】因为0a，0b，所以12232aabb，当且仅当12ab，即32,43ab时，等号成立.所以98ab，故答案为：98【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，属于中档题.10.已知数列{}na、{}nb满足121,,nnnanban为奇数为偶数，若{}nb是等比数列，且22108ab，则数列{}na的通项公式为________.【答案】9nna【解析】【分析】设{}nb的公比为q，由12nnba，n为奇数，可知21,kkabkN,可知{}na是公比为2q的等比数列，即可求解.【详解】设{}nb的公比为q,因为121,,nnnanban为奇数为偶数，所以21,kkabkN，所以212121kkkkabqab，即数列{}na是以2q为公比的等比数列.又2311,baba，可解得211abq又22108ab，即431080qq，解得3q，所以1999nnna.故答案为：9nna【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，等比数列基本量的计算，属于难题.11.函数25sin1yxx010x≤≤的所有零点之和等于__________.【答案】60【解析】【详解】函数25sin1yxx010x的零点，即为方程25sin10xx在区间0,10上的解.等价于函数2sinyx的图象与函数15yx的图象，在区间0,10上的交点的横坐标.因为函数2sinyx的图象与函数15yx的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间0,10上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数25sin1yxx010x的所有零点之和等于60.12.设fx是定义在0,上的单调函数，若对任意的0,x，都有22log4ffxx，则不等式6fx的解集为______.【答案】04xx【解析】【详解】由题设，存在正常数c，使得4fc，且对任意的0,x，有22logfxxc.当xc时，有22log4fccc，由单调性知此方程只有唯一解2c.所以22log2fxx.不等式6fx，即22log26x，解得04x.故不等式的解集为04xx.二、选择题13.若a，b为实数，则“a1”是“11a”的()A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式11a得a1或a0；所以由“a1”能推出“a1或a0”，反之不成立，所以“a1”是“11a”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.14.已知2logx、2logy、2成等差数列，则(,)Mxy的轨迹表示的图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据2logx、2logy、2成等差数列，可得24,0,0yxxy，即可求解.【详解】22log,log,2xy成等差数列，222log2logyx24,0,0yxxy(,)Mxy的轨迹图象为焦点为(1,0)的抛物线的一部分，0,0xy.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列和对数的运算性质，抛物线的方程和图象，属于中档题.15.对于正三角形T，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设nA是第n次挖去的小三角形面积之和（如1A是第1次挖去的中间小三角形面积，2A是第2次挖去的三个小三角形面积之和），nS是前n次挖去的所有三角形的面积之和，则limnnS（）A.34B.33C.32D.12【答案】A【解析】【分析】A1316，当n≥2时，An134nA，故数列{An}是等比数列，求其前n项和的极限即可．【详解】解：依题意，A1316，当n≥2时，An134nA，所以{An}是以316为首项，以34为公比的等比数列，又因为公比不为1，所以Sn33[1)33164[1)34414nn，所以：nlimSn333[1)444nnlim．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的定义，前n项和公式，数列极限等知识，属于基础题．16.设集合,ST是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数()yfx满足:(){()|};()iTfxxSii对任意12,,xxS当12xx时,恒有12()()fxfx,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()A.B.{|13},{|8010}AxxBxxx或C.{|05},AxxBRD.,ANBQ【答案】D【解析】试题分析：对于集合A,存在*()1,,()yfxxxNfxN；对于集合B,存在105log(2),(1,3](){8,1xxyfxx；对于集合C,存在()tan(),(0,5)52yfxxx因此选D.考点：函数单调性，新定义三、解答题17.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且5cos13B.（1）若3cos5A，求cosC；（2）已知4b，求ABBC的最小值.【答案】（1）3365；（2）5.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系可求sinB，sinA，再由诱导公式及两角和的余弦公式即可求解（2）由余弦定理及基本不等式可求得13ac„，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解.【详解】（1）5cos13B，可得212sin1cos13BB，3cos5AQ，4sin5A，33coscos()sinsincoscos65CABABAB，（2）由余弦定理2222cosbacacB，可得：22101613acac，222acac…，13ac„，当且仅当ac时等号成立，5cos()cos513ABBCacBacBac…,ABBC的最小值为5.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，两角和的余弦公式，余弦定理，均值不等式，属于中档题.18.已知函数2()2axfxx，其中aR.（1）若2a，解不等式()1fx；（2）求a的取值范围，使函数()yfx在区间(0,)上单调减函数.【答案】（1）(2,0]；（2）1a.【解析】【分析】（1）化简分式不等式求解即可（2）化简函数解析式得222()22axafxaxx，由反比例函数单调性可得220a，解不等式即可.【详解】（1）当2a时，由原不等式可得：302xx，即3(+2)0(20)xxx，解得20x，所以不等式的解集为(2,0].（2）222()22axafxaxx，又222()22axafxaxx在区间(0,)上是单调减函数，220a，解得1a.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，反比例函数的单调性，属于中档题.1