上海市实验学校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市实验学校2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（每题4分，一共40分）：1.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】3；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意3lr，23Srlr侧，2Sr底，∴3SS侧底＝．故答案为3．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．2.如图，在正三棱柱111ABCABC中，已知它的底面边长为10，高为20，若P、Q分别是BC、1CC的中点，则异面直线PQ与AC所成角的大小为_________（结果用反三角函数表示）．【答案】5arccos10；【解析】【分析】作出两异面直线所成的角，然后在三角形求解．【详解】取AB中点D，连接,,DPDCDQ，∵P是BC中点，∴//PDAC，∴异面直线PQ与AC所成的角为DPQ或其补角．在正三棱柱中，110,20ACCC，则10CQ，310532CD，∴2257DQCQCD，2255PQCQCP，5DP，∴222251251755cos2102555PDPQDQDPQPDPQ，∴异面直线PQ与AC所成的角的余弦为510，角的大小为5arccos10．故答案为5arccos10．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出两条异面直线所成的角，然后通过解三角形得出结论．方法是根据定义，平移其中一条直线使之与另一条相交，则异面直线所成的角可确定．平行线常常通过中位线、或者线面平行的性质定理等得出．3.已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________cm3．（结果保留圆周率）【答案】312288πcm【解析】【分析】结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r，利用体积计算公式2Vrh，即可。【详解】结合题意可知圆锥高h=48,设圆锥底面半径为r，则圆锥表面积222222314=2482423Srrhrrrr，计算得到16r,所以圆锥的体积22164812288Vrh【点睛】本道题考查了立体几何表面积和体积计算公式，结合题意，建立等式，计算半径r，即可，属于中等难度的题。4.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】43【解析】【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝12123＝43故答案为：43【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.5.设等差数列na的公差为d，若1234576,,,,,,aaaaaaa的方差为1，则d=________．【答案】12【解析】由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47xaddddddd，因此12d6.已知棱长为1的正四面体PABC，PC的中点为D，动点E在线段AD上，则直线BE与平面ABC所成角的取值范围为____________；【答案】140,arctan7；【解析】【分析】当E与A重合时，直线BE与平面ABC所成角为0最小，当E从A向D移动时，直线BE与平面ABC所成角逐渐增大，到达D点时角最大．【详解】如图，O是P在底面ABC上的射影，M是D在底面ABC上的射影，由于D是PC中点，则M是CO中点，正四面体棱长为1，则63PO，33CO，1626DMPO，1326CMOC，30MCB，∴2222cosBMCMBCCMBCMCB22337()121cos306612，712BM，∴6146tan7712DMDBMBM．14arctan7DBM．∴所求角的范围是14[0,arctan]7．故答案为14[0,arctan]7．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时首先要作出直线与平面所成的角，同时要证明所作角就是要求的角，最后再计算，即一作二证三计算．7.一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为_____。【答案】40【解析】设B层中的个体数为n，则211828nnC，则总体中的个体数为8540.8.有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；【答案】14；【解析】【分析】由体积公式得2ab，长宽高变化后体积公式为(1)(2)2abh，这样可用,ab表示h，然后结合基本不等式求得最值．【详解】依题意2ab，设新长方体高为h，则(1)(2)2abh，∴222(1)(2)2242habababab2214224422ab，当且仅当2ab时等号成立．∴h的最大值为14．故答案为14．【点睛】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型．9.设关于x，y的不等式组001xyykx表示的平面区域为．记区域上的点与点(0,1)A距离的最小值为()dk，若()2dk，则k的取值范围是__________；【答案】[1,)；【解析】【分析】根据不等式组表示的平面区域，又直线1ykx过点(0,1)，因此可对k分类讨论，以求得()dk，当10k时，()dk是A到直线1ykx的距离，在其他情况下，()dk表示A与可行域内顶点间的距离．分别计算验证．【详解】如图，区域00xy表示在第一象限（含,xy轴的正半轴），直线1ykx过点(0,1)，1ykx表示直线1ykx的上方，当0k时，()2dk满足题意，当k0时，直线1ykx与x轴正半轴交于点1(,0)Bk，当1k时，(1)2dAB，当10k时，22()1dkk2，满足题意，当1k时，21()12dkk，不满足题意，综上k的取值范围是[1,)．故答案为[1,)．【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，解题关键是在求()dk时要分类讨论．是直接求两点间的距离还是求点到直线的距离，这要区分开来．10.将前12个正整数构成的集合1,2,,12M中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．【答案】8【解析】【详解】设四个子集为,,iiiiMabc，1i，2，3，4，其中iiiabc，iibc，1i，2，3，4，设1234aaaa，则412a，123417812123922aaaa，所以12327aaa，故3327a，因此31011a．若310a，则由1217aa，210a，212217aaa，得29a，18a，即有1234,,,8,9,10,12aaaa，再由118bc，229bc，3310bc，4412bc，必须411b，41c，共得两种情况：12111，1073，954，862；以及12111，1064，972，853，对应于两种分法：12,11,1，10,7,3，9,5,4，8,6,2；12,11,1，10,6,4，9,7,2，8,5,3．若311a，则1216aa，于是2811a，分别得12,6,10aa，7,9．对于1234,,,6,10,11,12aaaa，得到三种分法：12,8,4，11,9,2，10,7,3，6,5,1；12,9,3，11,7,4，10,8,2，6,5,1；12,7,5，11,8,3，10,9,1，6,4,2．对于1234,,,7,9,11,12aaaa，也得三种分法：12,8,4，11,10,1，9,6,3，7,5,2；12,10,2，11,6,5，9,8,1，7,4,3；12,10,2，11,8,3，9,5,4，7,6,1．因此本题的分组方案共八种．二、选择题（每题4分，一共16分）：11.对于两个平面,和两条直线,mn，下列命题中真命题是（）A.若,mmn，则//nB.若//,m，则mC.若//,//,mn，则mnD.若,,mn，则mn【答案】D【解析】【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A中n可能在内，A错；B中m也可能在内，B错；m与n可能平行，C错；,m，则m或//m，若m，则由n得nm，若//m，则内有直线//cm，而易知cn，从而mn，D正确．故选D．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．12.学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为()A.2B.4C.6D.8【答案】A【解析】【分析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、2413。故选A【点睛】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.13.232(2)()xnxx的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x项的系数为（）A.2B.8C.5D.-17【答案】D【解析】【分析】令1x得各项系数和，可求得n，再由二项式定理求得3x的系数，注意多项式乘法法则的应用．【详解】令1x，可得3(2)(12)3n，5n，在232(25)()xxx的展开式中3x的系数为：232(2)(5)117C．故选D．【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令1x可得展开式中所有项的系数和，再令1x可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．14.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P是底面ABCD上的动点,1PAPC，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A.12B.4C.44D.72【答案】A【解析】【分析】P是底面ABCD上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以,ABAD为,xy轴建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，根据已知列出,xy满足的关系．【详解】如图，以,ABAD为,xy轴在平面ABCD内建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，由1PAPC得22222(2)(2)2xyxy，整理得30xy，设直线:30lxy与正方形ABCD的边交于点,MN，则P点在CMN内部（含边界），易知(1,2)M，(2,1)N，∴1CMCN，111122CMNS．故选A．【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面ABCD上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．三、解答题（10+10+12+12，一共44分）15.袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不相同；（2）三次颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或黄色．【答案】（1）29；（2）89；（3）59；【解析】【分析】按球颜色写出所有基本事件；（1）计数三次颜色各不相同的事件数，计算概率；（2）计数三次颜色全相同的事件数，从对立事件角度计算概率；（3）计数三次取出的球无红色或黄色事件数，计算概率；【详解】按抽取的顺