上海市七宝中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市七宝中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.设集合2{|20}Axxxa，若3A，则集合A可用列举法表示为________【答案】{3,1}【解析】【分析】将3代入220xxa求出参数a，再解出二次方程的根，用列举法表示即可【详解】3A，将3代入220xxa可得：960a，3a，原方程为：2230xx，解得123,1xx，故集合{1,3}A故答案为：{3,1}【点睛】本题考查元素与集合的关系，列举法表示集合，属于基础题2.关于x的不等式2420xx的解集为________【答案】(6,7)【解析】【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可【详解】224204207606,7xxxxxxx故答案为：(6,7)【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间”原则，属于基础题3.若21()(1)mfxmx是幂函数，则(2)f________【答案】-32【解析】【分析】根据幂函数的基本形式进行求解即可【详解】21()(1)mfxmxQ是幂函数，11m，52,()mfxx，则5(2)232f故答案为：-32【点睛】本题考查幂函数的基本形式，具体函数值的求法，幂函数基本形式为：afxx，x前面的系数必须为1，属于基础题4.已知(,)2，1sin3，则tan2________【答案】427【解析】【分析】根据同角三角函数先求出tan，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2，由12sintan34，22tan42tan21tan7故答案为：427【点睛】本题考查同角三角函数基本求法，正切角的二倍角公式，属于基础题5.函数sin(3sin4cos)1yxxx（xR）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(,)MT为_____【答案】(5,)【解析】【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可【详解】21cos255sin(3sin4cos)1=3sin4sincos132sin2+1=sin2222xyxxxxxxxx当sin2=1x时，max5yM，22T，故有序数对为(5,)故答案为：(5,)【点睛】本题考查三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin,cos22应强化记忆，属于基础题6.在等差数列{}na中，若519a，935a，则10a________【答案】39【解析】【分析】先由95aa求得公差，再求10a即可【详解】数列是等差数列，9535194aad，4d，10935439aad故答案为：39【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题7.若函数231()21xxfxxmx的值域为(,3]，则实数m的取值范围是________【答案】(2,5]【解析】【分析】分类讨论，先由1x求出3x的取值范围，再结合1x时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当1x时，1333x，0,3fx；当1x时，22xmfx是减函数，,2fxm，要满足(,3]fx，此时应满足20,3m，即(2,5]m故答案为：(2,5]【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题8.定义在R上的奇函数()yfx，当0x时，2()lg(33)fxxx，则()fx在R上的零点个数为________个.【答案】5【解析】【分析】先求出0x时2()lg(33)0fxxx的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可【详解】当0x时，令2()lg(33)0fxxx，即2lg(33)lg1xx，解得121,2xx根据奇函数的对称性可得11220ffff，故341,2xx也是函数的零点，又()yfx定义域为R，所以00f，故50x也是函数的零点，合计5个零点故答案为：5【点睛】本题考查奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于基础题9.当集合2{|(8)(1)0,}AxmxmxxZ中的元素个数最少时，实数m的取值范围是_____【答案】[4,2]【解析】【分析】对m进行分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m所满足的条件即可【详解】①当0m时，集合1AxZx当0m时，令2880mxmxmm，101xx②当0m时，842mm，故集合81AxZxxmm或③当0m时，842mm，故集合81AxZmxm，此时集合A的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，426,5，根据对勾函数性质，当且仅当80,22mmmm时，取到最大值，要满足集合A元素个数最少，需满足865mm，化简得22680580mmmm，即4,2m故答案为：[4,2]【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题10.已知周期为2的偶函数()fx的定义域为R，且当[0,1]x时，3()log(32)fxx，则当[2019,2020]x时，()fx的解析式为________【答案】3()log(24037)fxx【解析】【分析】根据2T，需将[2019,2020]x进行区间转化，2020[1,0]x，结合偶函数，求出fx在1,0x的表达式，即可求解【详解】由题可知2T，当[2019,2020]x，2020fxfx，令2020[1,0]tx；当1,0t时，0,1t，则3()log(32)ftt，又函数为偶函数，故3()log(32)ftftt，将2020tx代入可得33log322020log24037ftxx，即3log24037fxx故答案为：3log24037fxx【点睛】本题考查周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或对称区间，再进一步求解11.已知数列{}na的通项公式和为(73)2nnnS，*nN，现从前m项：12,,,maaa中抽出一项（不是1a也不是ma），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第________项【答案】6【解析】【分析】由(73)2nnnS可先算出na，先令40na，算出n，再结合等差数列的性质进一步判断【详解】由(73)2nnnS得-1-17-132nnnS，172(2),nnnSSann（验证当1n时也符合）故72nan，令72=40nan，得6n，即640a，根据等差数列的性质，6111210572aaaaaaaL，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611Sa得算数平均数为640a，则11m，抽出的是数列的第6项故答案为：6【点睛】本题考查等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，,,,mnpqmnpqaaaamnpqN，属于基础题12.已知函数()fx满足22(1)(1)()()4fxfxfxfx，则(1)(2020)ff的最大值是______【答案】4【解析】【分析】可将x换为1x，得出22(2)(2)()()fxfxfxfx，令2()()gxfxfx，可得gx周期为2，(1)(2020)10gggg，再结合基本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4fxfxfxfx，①将x换为1x，得出22(2)(2)(1)(1)4fxfxfxfx，②由②-①得：22(2)(2)()()fxfxfxfx，令2()()gxfxfx，则gx周期为2，所以(2020)0gg令0x，得22(1)(1)+(0)(0)=4ffff即222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4ggggffffffff，22(2020)+(1)4(2020)1ffff令2020,1afbf，则224abab，由22222222abababab即242abab，化简得420abab，2,4ab故20201abff的最大值为4，故答案为：4【点睛】本题考查复合函数周期性的推导，基本不等式求最值，推理运算能力，属于中档题二.选择题13.“x是1和4的等比中项”是“2x”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.即非充分也非毕必要条件【答案】B【解析】【分析】将条件“x是1和4的等比中项”化简，得2x，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x是1和4的等比中项”可得242xx，显然在命题“若x是1和4的等比中项，则2x”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题14.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin6:7:10ABC，则△ABC（）A.一定是钝角三角形B.一定是锐角三角形C.一定是直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】A【解析】【分析】结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可【详解】由sin:sin:sin6:7:10::6:7:10ABCabc，可令6,7,10abc由大边对大角原则确定C最大，由余弦定理2225cos0228abcCab可判断C为钝角故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题15.已知函数()fx为R上的单调函数，1()fx是它的反函数，点(2,3)A和点(2,1)B均在函数()fx的图像上，则不等式1|(3)|2xf的解集为（）A.(0,1)B.(1,3)C.(1,1)D.(0,3)【答案】A【解析】【分析】由()fx给出的已知两点确定单调性，再由()fx与1()fx的对应关系进一步求解即可【详解】由311222ABk和()fx为R上的单调函数，可得()fx为R上的单调递减函数，则1()fx在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A和点(2,1)B，则1()fx过1,2,3,2则11|(3)|22(3)2133xxxff，解得(0,1)x故选：A【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题16.如图，已知△ABC的周长为k，在AB、AC上分别取点M、N，使MN∥BC，且与△ABC的内切圆相切，则MN的最大值为（）A.6kB.8kC.9kD.12k【答案】B【解析】【分析】可设BCx，MNy，由AMNABC和切线长定理可代换出x与y的关系，最终将y代换成关于x的二次函数，再求最值即可【详解】设BCx，MNy，,,DEF分别为三个边的切点，则,,,BE