上海市普陀区2020届高三数学上学期质量调研（一模）试题

上海市普陀区2020届高三数学上学期质量调研（一模）试题2019.12考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．若抛物线2ymx的焦点坐标为1(,0)2，则实数m的值为.2.132lim31nnnn.3.不等式11x的解集为.4.已知i为虚数单位，若复数1i1izm是实数，则实数m的值为.5.设函数()log(4)afxx（0a且1a），若其反函数的零点为2，则a_______.6.631(1)(1)xx展开式中含2x项的系数为__________（结果用数值表示）.7.各项都不为零的等差数列na（*Nn）满足22810230aaa，数列nb是等比数列，且88ab，则4911bbb_.8.设椭圆：22211xyaa，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若AOP是等腰三角形（O为坐标原点），且2PQQA，则的长轴长等于_________.9.记,,,,,abcdef为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则abcdef为偶数的排列的个数共有________.10.已知函数22+815fxxxaxbxc,,abcR是偶函数，若方程21axbxc在区间1,2上有解，则实数a的取值范围是___________.11.设P是边长为22的正六边形123456AAAAAA的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则PMPN的取值范围为___________.12.若M、N两点分别在函数yfx与ygx的图像上，且关于直线1x对称，则称M、N是yfx与ygx的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对）.已知222442xxfxxx，1gxxa，若yfx与ygx存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.“1,2m”是“ln1m”成立的………………………（）)A(充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14.设集合1Axxa，1,3,Bb，若A⊆B，则对应的实数对(,)ab有…（）)A(1对B2对C3对D4对15.已知两个不同平面，和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是……（）)A(若//a，b，则//abB若a，b在平面内，且ca，cb，则cC若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交D若，分别经过两异面直线a，b，且c，则c必与a或b相交16.若直线l：212xybaab经过第一象限内的点11(,)Pab，则ab的最大值为……（）)A(76B422C523D632三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥PABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，22ABACPA,点D在棱AC上，且=ADAC(0).（1）当1=2时，求异面直线PD与BC所成角的大小；（2）当三棱锥DPBC的体积为29时，求的值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数221xxfxa.（1）当4a时，解不等式5fx；（2）若函数fx在区间2+，上是增函数，求实数a的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分DCBAP第17题图某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且=60OA米，=60AOB，设POB．（1）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线：22221(0,0)xyabab的焦距为4，直线:40lxmy（mR）与交于两个不同的点D、E，且0m时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；（3）设A、B分别是的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列na与nb满足1aa，1nnnbaa，nS是数列na的前n项和（*Nn）.NMPBAO第19题图（1）设数列nb是首项和公比都为13的等比数列，且数列na也是等比数列，求a的值；（2）设121nnnbb，若3a且4naa对*Nn恒成立，求2a的取值范围；（3）设4a，2nb，22nnnSC（*Nn，2），若存在整数k，l，且1kl，使得klCC成立，求的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题12345623(0,1)12297891011128254321183，646,8+823221+22，二、选择题13141516ADDB三、解答题17.（1）当1=2时，ADDC，取棱AB的中点E，连接ED、EP，则//EDBC，即PDE是异面直线PD与BC所成角或其补角，………………2分又PA，AB，AC两两互相垂直，则1PDDEEP,即PDE是正三角形，则3PDE.…………………………5分则异面直线PD与BC所成角的大小为3.……………………6分（2）因为PA，AB，AC两两互相垂直，所以AB平面PAC,……………3分则11112233239DPBCBPDCPDCVVABSPADCDC，即23DC,……………………………7分又=ADAC（0），2AC，则23.…………………8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a时，由22541xx得24250xx，…………………2分令2xt，则2540tt，即14t，…………………4分即02x，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分EDCBAP17题图（2）任取122xx，因为函数()22xxfxa在区间2+，上单调递增，所以12()()0fxfx在2+，上恒成立，………………2分则1122222+20xxxxaa恒成立，即1212122222+02xxxxxxa，1212221+02xxxxa，…………………4分又12xx，则1222xx，即122xxa对122xx恒成立，…………………………6分又12216xx，即16a，则所求的实数a的取值范围为[16,).………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN得，在OPN中，120ONP,60OPN,则sinsinsinONOPPNOPNONPPON，即60sin(60)sin120sinONPN，即403sin(60)ON，=403sinPN，……………………………4分则停车场面积sin24003sinsin(60)SONPNONP，即24003sinsin(60)S，其中060.………………………6分（2）由（1）得3124003sinsin(60)24003sin(cossin)22S，即23600sincos12003sin=1800sin26003cos26003S，……………………4分则12003sin(230)6003S.……………………6分因为060，所以30230150，则23090时，max120031600360031039.2S平方米.故当30时，停车场最大面积为1039.2平方米.……………………………8分说明：（1）中过点P作OB的垂线求平行四边形面积，请相应评分.20．（1）当0m直线:4lx与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan303ba，又焦距为4，则224ab，…………………3分解得3a，1b，则所求双曲线的方程为2213xy.……………………………4分（2）设11(,)Dxy，22(,)Exy，由221340xyxmy，得22(3)8130mymy，则12283myym，122133yym，且2226452(3)12(13)0mmm，………………………………………………………………2分又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则0ODOE，即12120xxyy，即1212(4)(4)0mymyyy，即212124()(1)160myymyy，则22221313816033mmmm，……………………………4分即223503mm，则1533m或1533m，即实数m的取值范围1515(3,)(,3)33.…………………6分（3）线段PQ在x轴上的射影长是pqxx.设00(,)Dxy，由（1）得点(3,0)B，又点P是线段BD的中点，则点003(,)22xyP，……………2分直线BD的斜率为003yx，直线AD的斜率为003yx，又BDPQ，则直线PQ的方程为000033()22yxxyxy，即2000003322xxyyxyy，又直线AD的方程为00(3)3yyxx，联立方程200000003322(3)3xxyyxyyyyxx，消去y化简整理，得222000003(3)(3)223xyyxxxx，又220013xy，代入消去20y，得20002(3)1(3)(3)(3)33xxxxx，即02(3)1(3)33xxx，则0234xx，即点Q的横坐标为0234x，……………5分则003233244pqxxxx.故线段PQ在x轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ在OB或(1,0)i方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1）由条件得1()3nnb，*Nn，即11()3nnnaa，………………1分则2113aa，23211()39aa，设等比数列na的公比为q，则322113aaqaa，又1(1)3aq，则14a.…………………