上海市交通大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

上海市交通大学附属中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷一.填空题1.已知角是第一象限角，则是第__________象限角．【答案】一或三【解析】试题分析：的取值范围是，的取值范围是分类讨论，①当其中时，的取值范围是，即属于第三象限角；②当其中时，的取值范围是，即属于第一象限角，故答案为一或三.考点：象限角的基本含义.2.半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是________【答案】2【解析】【分析】根据扇形面积公式求解.【详解】因为扇形面积【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.3.函数的最小正周期是______．【答案】p【解析】，周期.4.已知角满足，其终边上有一点，若，则________【答案】-3【解析】【分析】根据三角函数定义求解.【详解】由三角函数定义得【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力，属基础题.5.三角方程满足的解构成的解集为________（用反正弦表示）【答案】或【解析】【分析】根据反三角函数范围求解.【详解】因为，，所以当时，由得；当时，由得,；【点睛】本题考查反三角函数，考查基本转化与求解能力，属基础题.6.在△中，若，，且三角形有解，则的弧度数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理列式求解.【详解】由正弦定理得,因为，所以.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.7.若，则________【答案】或0【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系求解.【详解】因为，，所以，因此或当时，当时，综上或0.【点睛】本题考查同角三角函数平方关系，考查基本转化与求解能力，属基础题.8.将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的图像的对称轴方程为________【答案】，【解析】【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质求解.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，得到，所以由，得对称轴方程为，【点睛】本题考查三角函数图象变换以及余弦函数性质，考查基本转化与求解能力，属中档题.9.△中，，，，为边上的中点，则△与△的外接圆的面积之比为________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求三角形外接圆直径，即可得外接圆的面积之比.【详解】因为，，，所以△为直角三角形，因此,从而△与△的外接圆的直径分别为，因此面积之比为【点睛】本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.10.下列是有关△的几个命题：若，则△是锐角三角形；若，则△是等腰三角形；若，则△是等腰三角形；④若，则△是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________【答案】①③【解析】【分析】根据正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择.【详解】因为△中，所以若，则,因此必有,即△是锐角三角形；若，则，或;若，则，，，,所以△是等腰三角形；若，则,所以或，即或；综上正确命题的序号是①③.【点睛】本题考查正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式，考查基本转化与判断化简能力，属中档题.11.已知函数，，其最小值为，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】将函数最值问题转化为对应不等式恒成立问题，再变量分离转化为新函数最值问题.【详解】因为函数，，其最小值为，所以在恒成立且在]上有解.当时，,此时,当时，,因为，所以,而时在]上恒有解.综上实数的取值范围是.【点睛】本题考查三角恒等变换以及正切函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12.设、，且，则的最小值等于________【答案】【解析】由三角函数的性质可知，，所以，即，所以，所以.二.选择题13.△中，“”是“”的（）条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据角的范围分类讨论,再结合正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理进行推证.【详解】若均为锐角，则,若均为锐角，则,而，综上“”是“”的充要条件.选A.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理，考查综合分析论证能力，属中档题.14.已知函数，，则的所有零点之和等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】两角和的正弦公式以及二倍角公式化简,函数的两点就是方程或的根，求出方程的根，即可得结果.【详解】,或，在上的所有零点为，，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.15.在中，，则的形状是（）A.等腰非直角三角形B.等腰直角三角形C.直角非等腰三角形D.等腰或直角三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，化为，由，进而可得结果.【详解】,化为，由正弦定理可得，，，，，是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.16.已知函数，，若，对恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据指数函数性质化简不等式，再根据二倍角关系转化为对应二次不等式，最后根据二次函数性质求解.【详解】因为时，，所以，对恒成立，等价于，对恒成立，令,则等价于,因此所以，选B.【点睛】本题考查指数函数性质、二倍角余弦公式以及二次函数性质，考查综合转化与求解能力，属较难题.三.解答题17.设，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；法二：令，求得，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式，求得，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得，的值，进而可求解.【详解】（1）法一：，法二：令，则，.（2），，，，，..【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由周期求出ω，由，k∈Z，结合范围，求出的值，由函数的图象过（0，）求得A，可得函数f（x）的解析式；（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】(1)∵，，又，.(2)依题意h，∵，，的值域为.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了三角函数化简问题，考查了正弦函数的值域，属于中档题．19.如图，已知的半径为1，点在直径的延长线上，，点是半圆上的一个动点，以为边作正三角形，且点与圆心分别在两侧.（1）若，试将四边形的面积表示成的函数并写出定义域；（2）求出四边形面积的最大值，并写出面积取得最大值时的的值.【答案】解：(1)在中，由余弦定理，得==．(2)当,即时,．答：四边形面积的最大值为【解析】本试题主要是考查了等差数列的定义和通项公式的求解和运用，以及等比数列的性质的综合运用问题，和错位相减法求解数列和的一道综合试题。20.若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.【解析】【分析】由不满足，得不是“M函数”，可得函数的周期，，当时，当时，在上的单调递增区间：，由可得函数在上的图象，根据图象可得：当或1时，为常数有2个解，其和为当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，【详解】不是“M函数”．，，不是“M函数”．函数满足，函数的周期，，当时，当时，，在上的单调递增区间：，；由可得函数在上的图象为：当或1时，为常数有2个解，其和为.当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，则．【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．21.若函数，，，的最大值为1.（1）求的值；（2）若函数在内没有对称轴，求的取值范围；（3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先化简，再求最大值，最后根据最大值为1得结果，（2）根据函数单调性列式求解，（3）根据条件解得，再根据零点确定最小值.【详解】（1）,因为，，所以2因为的最大值为1，所以因为；（2）因为函数在内没有对称轴，所以,在上单调，所以,,，即，因为，所以当时;当时;即的取值范围为（3）因为，所以，或因为恒成立，所以由得，,又因为在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，所以，的最小值为.【点睛】本题考查三角函数最值、对称轴、零点等性质，考查综合转化与求解能力，属较难题.