上海市建平中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市建平中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.设函数，则f（f（2））=_____【答案】-1【解析】【分析】先计算f(2)=,然后将代入解析式即可得结果.【详解】，f(2)=f（f（2））=f()=cos()=cos.故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列{an}中，a5+8a2=0，则公比q的值为_____【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得a5=-8a2=a2，计算可得公比q的值.【详解】在等比数列{an}中，∵a5=-8a2，∴=q3=-8，∴q=-2,即公比q的值为-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若，则tanα=_____【答案】7【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得=+2，=-2+，即+2=3（-2+），整理得7=，即tanα=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁RA）∩B=_____【答案】（0，1]【解析】【分析】解出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【详解】集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁RA={x|0＜x＜2}，∴（∁RA）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点睛】本题考查集合的交集补集的运算.5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个,然后相乘可得．【详解】分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有×××=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为__________．【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心的坐标为，圆的半径，由圆切线的性质可知，，且，则，，该圆夹在两条切线间的劣弧长，故答案为.7.已知数列{an}的前n项和Sn满足：对于任意m，n∈N*，都有Sn+Sm=Sn+m+2mn，若a1=1，则a2018=_____【答案】﹣4033【解析】【分析】根据题意，在Sn+Sm=Sn+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：Sn+S1=Sn+1+2n，变形可得Sn+1﹣Sn=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【详解】根据题意，在Sn+Sm=Sn+m+2mn中，令m=1可得：Sn+S1=Sn+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有Sn+1=Sn+1+2n，变形可得：Sn+1﹣Sn=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．【答案】【解析】当时，，所以当时，，故；当时，，所以；当时，，所以，故．故填.9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由题可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性可将f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）转化为﹣2＜log2|a﹣1|＜2，解不等式可得a的取值范围.【详解】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，∴f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，得＜|a﹣1|＜4，解得：﹣3＜a＜或＜a＜5，即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为（﹣3，）∪（，5）．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化f（|log2|a﹣1||）＞f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则=_____【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案．【详解】在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2），则=+=tanC（+）=•（+）=====4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为_____．【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1,即c=-b将转为（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x==c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=，b=，即c=-b,则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6,故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.选择题13.已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】试题分析：由得:若令满足但有:所以选项A、B、C均不正确，故选D．考点：函数的单调性．14.已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点P的轨迹．【详解】∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6，∴点P的轨迹是抛物线．故选：D．【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{an2}；③；④{anan+1}；⑤{an+an+1}；等比数列的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出．【详解】数列{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①，不是等比数列；②=q2，故{an2}是等比数列；③是公比为的等比数列；④{anan+1}是公比为q2的等比数列；⑤{an+an+1}不一定是等比数列，例如an=（﹣1）n，综上等比数列的个数为3．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，i=0，1，2，…，99．记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1【答案】B【解析】【分析】根据Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案.【详解】由，故==1，由，故=1，=1，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．三.解答题17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ=,所以异面直线PB与CD所成角大小为．（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d=．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．18.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】