上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）

上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）一.填空题1.若复数z满足1zii1+2i，则z等于_____．【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵1ziiiz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题2.计算：3381nnClimn_____【答案】148【解析】【分析】由二项式定理得323123266nnnnnnnC，再求极限即可【详解】323123266nnnnnnnC；∴33223333213216814864848nnnnCnnnnnlimlimlimnnn．故答案为：148．【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2＝_____．【答案】4【解析】试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．4.关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为32111m．若Dx＝5，则实数m＝_____．【答案】-2【解析】【分析】由题意，Dx1232m5，即可求出m的值．【详解】由题意，Dx1232m5，∴m＝-2，故答案为-2．【点睛】本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．5.已知实数x、y满足不等式组22000xyxyy，则11ywx的取值范围是_____【答案】1,12【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．11ywx的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴AP的斜率k12又OB的斜率k＝1∴12w1．则11ywx的取值范围是：112，．故答案为：112，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.在101()2xx展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．【答案】4【解析】【分析】先写出展开式的通项：103211012rrrrTCx由0≤r≤10及532r为负整数，可求r的值，即可求解【详解】1012xx展开式的通项为103211012rrrrTCx其中r＝0，1，2…10要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为2122，则球的表面积为4π，故球的半径为1；球的体积为43，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423，故填考点：本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手8.连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量a（m，n），则a与b（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_____．【答案】712【解析】【分析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴a（m，n）与b（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，2]a•b0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P65432176612．故答案为：712【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键9.已知集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为_____．【答案】[﹣1，3]【解析】【分析】先分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B（a﹣1，1），欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得：﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10.在ABC中，2,1BCAC，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，CD、两点在直线AB的两侧），当C变化时，线段CD长的最大值为__________．【答案】3【解析】试题分析：设CBA，ABBDa，则在三角形BCD中，由余弦定理可知22222sinCDa，在三角形ABC中，由余弦定理可知21cos22aa，可得4261sin22aaa，所以2242261CDaaa，令22ta，则2221017(5)8CDttttt222(5)[(5)8]59tt，当2(5)4t时等号成立．考点：解三角形11.如图，B是AC的中点，2BEOB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OPxOAyOBxyR，．有以下结论：①当x＝0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，1522xy，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④【解析】【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出OP，求出x，y判断出②对,利用三点共线解得④对【详解】对于①当OPyOB，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当P是线段CE的中点时，132OPOEEPOBEBBC11532222OBOBABOAOB故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对对④，OPxOAyOBxOAyOB，令OBOF，则xOAyOFOP，当,,PAF共线，则1xy，当AF平移到过B时，x﹣y的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题12.对任意实数x和任意02，，恒有221(32)()8xsincosxasinacos，则实数a的取值范围为_____．【答案】a6或a72【解析】【分析】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）214，θ∈[0，2]，从而可得a1322sincossincos，或a1322sincossincos，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．【详解】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）214，θ∈[0，2]①，由①得a1322sincossincos②，或a1322sincossincos③，在②中，12sincos，1322sincossincos（sinθ+cosθ）52sincos，显然当1≤x2时，f（x）＝x52x为减函数，从而上式最大值为f（1）＝15722，由此可得a72；在③中，1322sincossincos（sinθ+cosθ）332622sincos，当且仅当sinθ+cosθ62时取等号，所以1322sincossincos的最小值为6，由此可得a6，综上，a6或a72．故答案为：a6或a72．【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．二.选择题13.设集合2=540AxxxB=1xxa，则“2,3a”是“BA”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1,4,1,1ABaa，若BA，则1114aa，解得2,3a，所以2,3a是2,3a的充分不必要条件，故选A。14.实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、2ab、ab按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【解析】【分析】由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、2ab、ab按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a＞b＞0则有a＞2ab＞ab＞b若能构成等差数列，则a+b=2ab+ab，得2ab=2ab，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=2abab，得22abab，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有2ababab若能构成等差数列，则2ababba，得2ab=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时ab•b＜0，a•2ab＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．15.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物