上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁UA＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积VSh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）=f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（xm）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A.1B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sinB1sinBsinB，∴sinB，∴B或（不合题意，舍去）；∴cosB，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cosB＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为kOP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】Sn•，①n为奇数时，Sn•，根据单调性可得：Sn≤2；②n为偶数时，Sn•，根据单调性可得：≤Sn．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】Sn•，①n为奇数时，Sn•，可知：Sn单调递减，且•，∴Sn≤S1＝2；②n为偶数时，Sn•，可知：Sn单调递增，且•，∴S2≤Sn．∴Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数ay＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一