上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知向量(,1)ak与(2,1)bkr垂直，则实数k________.【答案】13【解析】【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量(,1)ak与(2,1)bkr垂直，所以21310abkkk，解得13k.故答案为：13【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.2.若矩阵20210Ax，10By，则AB________.【答案】2021【解析】【分析】根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.【详解】因为20210Ax，10By，所以20211002021ABxy.故答案为：2021【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.3.行列式42354112k的元素3的代数余子式的值为10，则(,8)akr的模为________.【答案】10【解析】【分析】先由题意，结合代数余子式的概念，得到212(1)2(2)11012kk，求出6k，再由向量模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为行列式42354112k的元素3的代数余子式的值为10，所以212(1)2(2)141012kkk，解得6k，因此228366410akr.故答案为：10【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记代数余子式的概念，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.4.若(2,1)nr是直线l的一个法向量，则l的倾斜角是________.【答案】arctan2【解析】【分析】先由题意求出直线斜率，再记l的倾斜角为，进而可求出结果.【详解】因为(2,1)nr是直线l的一个法向量，所以直线l的斜率为：2k，记l的倾斜角为，则tan2=-，则arctan2.故答案为：arctan2【点睛】本题主要考查由直线的法向量求直线倾斜角，熟记法向量的概念，以及斜率的定义即可，属于基础题型.5.关于x、y的二元线性方程组252xmynxy的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011，则mn________.【答案】1【解析】【分析】先由题意得到31xy是方程组252xmynxy的解，求出11mn，进而可得出结果.【详解】因为关于x、y的二元线性方程组252xmynxy的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011，所以31xy是方程组252xmynxy的解，因此65312mn，解得11mn，所以1mn.故答案为：1【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.6.若直线330axy与直线(2)10xay平行，则a的值为________.【答案】1【解析】【分析】由直线平行，得到(2)3101310aaa，求解，即可得出结果.【详解】因为直线330axy与直线(2)10xay平行，所以有(2)3101310aaa，即(3)(1)030aaa，解得1a.故答案为：1【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数的问题，熟记两直线平行的充要条件即可，属于常考题型.7.直线l与圆22(5)4xy相切，且l在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的直线l共有________条.【答案】6【解析】【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据l在两坐标轴上截距的绝对值相等，分别讨论：截距相等（不为0），截距互为相反数，直线过原点，三种情况，根据直线与圆相切，列出等式，分别求解，即可得出结果.【详解】因为圆22(5)4xy的圆心坐标为5,0，半径2r=由l在两坐标轴上截距的绝对值相等，（1）若截距相等（不为0），可设:lxya，因为直线l与圆22(5)4xy相切，则有2250211ar+-==+，解得522a=?，此时直线有两条；（2）若截距互为相反数，可设:lxya，则有2250211ar--==+，解得522a=?，此时直线有两条；（3）若直线过原点，可设：:0lkxy-=，则有225021krk-==+，解得22121k=?，此时直线有两条；综上，满足条件的直线共有6条.故答案为：6【点睛】本题主要考查判断圆的切线条数，熟记点到直线距离公式，会用几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.8.直线l过点(4,7)，且被圆22(1)(2)25xy截得的弦长为8，则l的方程为_____.【答案】4x或4350xy【解析】【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为圆22(1)(2)25xy的圆心坐标为(1,2)，半径=5r，又直线l被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为：2243dr当直线l斜率不存在时，由l过点(4,7)，得:4lx，满足题意；当直线l斜率存在时，可设:(7)(4)lykx--=-，即470kxyk---=，所以有224731kkk---=+，即2311kk+=+，解得43k，因此4:(4)73lyx=---，即4350xy.故答案为：4x或4350xy【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.9.在平面直角坐标系中，设点0,0O，3,3A，点,Pxy的坐标满足303200xyxyy，则OA在OP上的投影的取值范围是__________【答案】3,3【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP；根据向量投影公式可知所求投影为cosOAAOP，利用AOP的范围可求得cosAOP的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB，56AOCOA在OP上的投影为：cos93cos23cosOAAOPAOPAOPAOBAOPAOC5,66AOP33cos,22AOPcos3,3OAAOP本题正确结果：3,3【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.10.如图，光线从(,0)Pa(0)a出发，经过直线:30lxy反射到(,0)Qb，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且13b，则实数a的取值范围是________.【答案】(5,)【解析】【分析】先记经过点P的入射光线与直线l的交点为M，由题意得到直线MQ的斜率为：13MQk，与直线:30lxy垂直的直线斜率为：3k；设直线PM斜率为PMk，由到角公式求出139PMk，再由直线MQ与直线l联立求出点M坐标，表示出PMk，求出ab、关系，进而可得出结果.【详解】记经过点P的入射光线与直线l的交点为M，由题意可得：直线MQ的斜率为：13MQk，与直线:30lxy垂直的直线斜率为：3k；设直线PM斜率为PMk，由到角公式可得：11MQPMPMMQkkkkkkkk，即133431133133PMPMkk，解得139PMk，又直线MQ的方程为：1()3yxb，由1()330yxbxy解得,26bbM，因此013692PMbkba，解得513ab，又13b，所以5513ab.故答案为：(5,)【点睛】本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型.11.当实数x、y满足221xy时，|2||62|xyaaxy的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是________.【答案】[56,5]【解析】【分析】先由题意，设cosx、siny，得到525xy，再由|2||62|xyaaxy的取值与x、y均无关得到655aa，求解，即可得出结果.【详解】因为实数x、y满足221xy，可设cosx、siny，则2cos2sin5sinxy，其中1tan2，所以525xy，因为|2||62|xyaaxy的取值与x、y均无关，所以只需|2||62|(2)(62)6xyaaxyxyaaxy，即655aa，解得565a.故答案为：[56,5]【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，熟记圆的参数方程即可，属于常考题型.12.已知(1,1)Aa，(1,1)Ba，若在曲线|||1|143xay上恰有4个不同的点P，使PAPB，则的取值范围是________.【答案】119{}(8,15)25U【解析】【分析】先由|||1|143xay得24y，设(,)Pxy，得到(1,1)PAaxy，(1,1)PBaxy，进而得到222523119,21925252573119,1492525yyPAPByy，令222523119,21925252573119,1492525yytyy，由题意得到，函数222523119,21925252573119,1492525yytyy与tλ只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果.【详解】由|||1|143xay得|1|13y，解得24y；因为点P在曲线|||1|143xay上，可设(,)Pxy，又(1,1)Aa，(1,1)Ba，则(1,1)PAaxy，(1,1)PBaxy，所以22221241()1(1)(1)19yPAPBaxyy2222523119,2125(1)96192525192573119,1492525yyyyyy，令222523119,21925252573119,1492525yytyy，因为在曲线|||1|143xay上恰有4个不同的点P，使PAPB，则函数222523119,21925252573119,1492525yytyy与tλ只需有两个交点；作出函数大致图像如下：由图像可得：11925或815.故答案为：119{}(8,15)25U【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型.二、选择题13.设,ab是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若ababab，则B.若,ababab则C.若abab，则存在实数，使得abD.若存在实数，使得ab，则abab【答案】C【解析】试题分析：对于A若abab