上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，将答案填在答题纸上）1.计算23lim31nnn__________．【答案】23【解析】【分析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】211223211233limlimlim[]313133(31)3nnnnnnnn.【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.2.实数2和8的等比中项是__________．【答案】4【解析】所求的等比中项为：284.3.函数arctanyx，(0,1)x的反函数为__________．【答案】tan,(0,)4yxx【解析】【分析】将函数变形为()xfy的形式，然后得到反函数，注意定义域.【详解】因为arctanyx，所以tanxy，则反函数为：tanyx且(0,)4x.【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.4.在等差数列na中，12a，3510aa，则7a．【答案】8【解析】【详解】设等差数列na的公差为d，则351712610aaaaad，所以71101028aa，故答案为8.5.用列举法表示集合1cos(),[0,]32xxx__________．【答案】2{0,}3【解析】【分析】先将x的表示形式求解出来，然后根据范围求出x的可取值.【详解】因为1cos()32x，所以2,33xkkZ，又因为[0,]x，所以0k，此时0x或23，则可得集合：2{0,}3.【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.6.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若面积2222abSc，则角C__________．【答案】arctan2【解析】【分析】根据面积公式计算出tanC的值，然后利用反三角函数求解出C的值.【详解】因为2221sin22abcSabC，所以222sin2cosabCabcabC，则tan2C，则有：arctan2C.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.7.已有无穷等比数列na的各项的和为1，则2a的取值范围为__________．【答案】12,00,4【解析】【分析】根据无穷等比数列的各项和表达式，将2a用公比q表示，根据q的范围求解2a的范围.【详解】因为111aSq且||1q，又22111(1)()24aaqqqq，且(1,0)(0,1)q，则21(2,0)(0,]4a.【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.8.已知函数()2sin()46xfx，若对任意xR都有12()()()fxfxfx（12,xxR）成立，则12xx的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据1()fx和2()fx的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定12xx最小值.【详解】因为12()()()fxfxfx对任意xR成立，所以1()fx取最小值，2()fx取最大值；12xx取最小值时，1x与2x必为同一周期内的最小值和最大值的对应的x，则12min2Txx，且28||T，故12min4xx.【点睛】任何一个函数()fx，若有12()()()fxfxfx对任何x定义域成立，此时必有：1()minfx，2()maxfx.9.若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________．【答案】9【解析】试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则．考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．10.设函数()sin()fxAx（,,A是常数，0,0A）.若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()()236fff，则()fx的最小正周期为_________.【答案】π【解析】【详解】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为.考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.11.由正整数组成的数列na，nb分别为递增的等差数列、等比数列，111ab，记nnncab，若存在正整数k（2k）满足1100kc，11000kc，则kc__________．【答案】262【解析】【分析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比q、k、d的范围后再综合判断.【详解】设等比数列公比为q，等差数列公差为d，因为1100kc，11000kc，所以21(2)100(*)11000kkkdqkdq；又因为na，nb分别为递增的等差数列、等比数列，所以2q且1d；又2k时11100显然不成立，所以3k，则31000q，即9q；因为2q，221002kkq，所以8k；因为(2)kdd，所以100d；由(*)可知：22900kkqqd，则22900()200kkdqq，22(1)700kqq；又21221111550(1)022222kkkkkkkccqqckdqqq，所以22(1)1100kqq，则有22221700(1)1100kkqqqq根据3829kq可解得符合条件的解有：46kq或39kq；当46kq时，41461000d，解得0d不符，当39kq时，解得90d，符合条件；则32215509(91)2622kc.【点睛】本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.12.已知无穷等比数列{}na满足：对任意的*nN，sin1na，则数列{}na公比q的取值集合为__________．【答案】41,qqkkZ【解析】【分析】根据条件先得到：na的表示，然后再根据{}na是等比数列讨论公比q的情况.【详解】因为sin1na，所以2,2nakkZ，即(41),2nkakZ；取{}na连续的有限项构成数列{}nb，不妨令1(41),2kbkZ，则2(41),2qkbkZ，且2{}nba，则此时q必为整数；当4,qkkZ时，224(4)2(41){}2nkkbkka，不符合；当41,qkkZ时，222(41)4(42)1{}22nkkkba，符合，此时公比41,qkkZ；当42,qkkZ时，224(43)2(21)(41){}2nkkbkka，不符合；当43,qkkZ时，22(43)(41)4(44)3{}22nkkkkba，不符合；故：公比41,qkkZ.【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.二、选择题：本大题共有4题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是()A.f(x)在（4，2）上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2D.f(x)的最大值为2【答案】B【解析】【详解】解:,是周期为的奇函数,对于A,在上是递减的,错误;对于B,是奇函数,图象关于原点对称,正确;对于C,是周期为,错误;对于D,的最大值为1,错误;所以B选项是正确的.14.若等差数列{}na的前10项之和大于其前21项之和，则16a的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据条件得到不等式，化简后可判断16a的情况.【详解】据题意：1021SS，则1104521210adad，所以1111650ad，即111(15)0ad，则：160a，故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的应用，难度较易.等差数列前n项和之间的关系可以转化为1a与d的关系.15.已知数列{}na的通项公式2019112nnna120192020nn，前n项和为nS，则关于数列{}na、nS的极限，下面判断正确的是（）A.数列{}na的极限不存在，nS的极限存在B.数列{}na的极限存在，nS的极限不存在C.数列{}na、nS的极限均存在，但极限值不相等D.数列{}na、nS的极限均存在，且极限值相等【答案】D【解析】【分析】分别考虑{}na与nS的极限，然后作比较.【详解】因为20091limlim()02nnxxa，又2019201912201911(1())122limlim(...)lim[()]01212nnnxxxSaaa，所以数列{}na、nS的极限均存在，且极限值相等，故选：D.【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解nS的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.16.已知数列{}na是公差不为零的等差数列，函数()fx是定义在R上的单调递增的奇函数，数列{()}nfa的前n项和为nS，对于命题：①若数列{}na为递增数列，则对一切*nN，0nS②若对一切*nN，0nS，则数列{}na为递增数列③若存在*mN，使得0mS，则存在*kN，使得0ka④若存在*kN，使得0ka，则存在*mN，使得0mS其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.【详解】①取5nan，()fxx，则11()(4)40Sfaf，故①错；②对一切*nN，0nS，则1()0fa，又因为()fx是R上的单调递增函数，所以10a，若{}na递减，设10,0kkaa，且2112121()()...()()...()kkkkSfafafafafa，且121221...20kkkaaaaa，所以121222,,...,kkkkaaaaaa，则121222()(),()(),...,()()kkkkfafafafafafa，则2112121()()...()()...()0kkkkSfafafafafa，与题设矛盾，所以{}na递增，故②正确；③取23nan，则11a，21a，令()fxx，所以12()()0fafa，但是23