上海市曹杨二中2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市曹杨二中2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题，(前6期每题4分，后6题每题5分，共54分)1.若22zi(其中i为虚数单位)，则=z___.【答案】22【解析】【分析】将z的共轭复数写出来,再算出模即可【详解】22zi22=2+2=22z故答案为：22【点睛】本题考查了共轭复数和复数的模,注意计算的正确即可,属于基础题.2.函数12xfx的定义域是__________．【答案】,0【解析】由120x，得21x，所以0x，所以原函数定义域为,0，故答案为,0.3.已知向量(1,0,3)(3,1,0).ab，则a与b的夹角_____.【答案】3arccos10【解析】【分析】根据向量的夹角公式求出a与b的夹角的余弦值,即可得出a与b的夹角.【详解】∵33cos,101010ababab∴a与b的夹角为3arccos10故答案为：3arccos10【点睛】本题考查了向量的夹角公式,注意算出非特殊三角函数值在写夹角的时候要用反三角函数表示,不能直接写三角函数值,属于基础题.4.函数1()3(0)xfxx的反函数是-1()fx____.【答案】31log10,3xx【解析】【分析】求出()fx的值域,即为-1()fx的定义域,再将y()fx中的x和y调换位置,化简变形用x表示y,即可得-1()fx的表达式【详解】0xQ1011333xy13(0)xyx的值域为10,313(0)xyx的反函数是13yx,10,3x化简得31log10,3yxx即-1()fx31log10,3xx故答案为：31log10,3xx【点睛】本题考查了反函数-1()fx的计算,反函数的定义域是原函数的值域,当定义域不是R时,一定要写出定义域.本题属于基础题.5.数列na的前n项和21nSnn,则na的通项公式na_____.【答案】3122nnn【解析】【分析】根据na和nS之间的关系,应用公式1112nnnSnaSSn得出结果【详解】当1n时,113aS；当2n时,22111112nnnaSSnnnnn；∴3122nnann故答案为：3122nnn【点睛】本题考查了na和nS之间的关系式,注意当1n和2n时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题6.幂函数223()=mmfxx(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数,则m＝．【答案】1【解析】【详解】因为幂函数223()=mmfxx(m∈Z)为偶函数，所以223mm为偶数，因为幂函数223()=mmfxx(m∈Z)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,所以223013mmm因为m∈Z，所以m＝17.2()nxx展开式的二项式系数之和为256，则展开式中2x的系数为_____.【答案】1120【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为2256n,求出n的值,再写出二项式的通项公式为388218822rrrrrrrTCxCxx,当38=22r时,即可求出2x的系数【详解】2()nxx展开式的二项式系数之和为012...22568nnnnnnCCCCn2()nxx展开式的通项公式388218822rrrrrrrTCxCxx当38=22r时,4r,即4422582=1120TCxx则展开式中2x的系数为1120故答案为：1120【点睛】本题考查了二项式展开式的二项式系数和,和二项式展开式的通项公式,属于基础题.8.已知函数()sin()(0,)Rfxx点(1,0)是其函数图象的对称中心，y轴是其函数图象的对称轴，则的最小值为_____.【答案】2【解析】【分析】因为y轴是其函数图象的对称轴,所以0x代入2xkkZ；(1,0)是其函数图象的对称中心,所以1x代入+xnnZ,作差即可表示出的值,再根据0,即可得的最小值.【详解】y轴是其函数图象的对称轴,02kkZ……①∵(1,0)是其函数图象的对称中心1++nnZ……②②-①,得2nknkZ0当1nk时,有最小值2故答案为：2【点睛】本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式,属于基础题.9.有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____.【答案】35【解析】【分析】从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.【详解】从5条线段中任取3条,共有3510C种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6种情况；即能构成三角形的概率是63=105,故答案为：35【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.10.记x为不大于x的最大整数，设有集合2|2=|2AxxxBxx，,则AB_____.【答案】1,3【解析】【分析】求AB即需同时满足A集合和B集合的x的取值范围,先根据=|2=|22Bxxxx,比较容易得出解集,再将B集合的解集代入A集合中,判断出可以成立的值,即可得AB【详解】=|2=|22Bxxxx当22x时,2,1,0,1x,当2x时,2200xxx,不满足2x；当1x时,2211xxx,1x满足1x；当0x时,2222xxx,不满足0x；当1x时,2233xxx,3x满足1x；即同时满足22xx和2x的x值有-1,3；则AB1,3故答案为：1,3【点睛】本题考查了集合的计算,和取整函数的理解,针对两个集合求交集的情况,可先对较简单的或者不含参数的集合求解,再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.11.已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_________．【答案】(5,7)【解析】试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为11111662，可知第60个数对落在第11个与yx平行的直线上的，为5,7.试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从1,1点开始，各点分别落在与yx平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点()1,2，2,1，以此类推第三组有三个点……,则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为5,7.考点：一般数列中的项12.已知实数,ab满足：2224ba，则2ab的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点,ab到直线20ab的距离的5倍”问题若相切，则22224bbz有唯一解222440bzbz，2221684042zzzz两平行线20ab与20abz的距离255zd所以22525ab方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数,ab；,xy，则22222abxyaxby222222222222222222abxyaxbyaxaybxbyaxbyabxy2222220aybxabxyaybx已知两组数,ab；,xy，则22222abxyaxby222222222222222222abxyaxbyaxaybxbyaxbyabxy2222220aybxabxyaybx所以22242212baab，所以22ab.方法三：判别式法设22abtabt，将其代入2224ba，下面仿照方法一即可.方法四：整体换元根据对称性，不妨设20ba，20ba设22xbayba，则40,0xyxy，且2121222121222222yxayxyxyxabxyyxb方法五：三角换元由对称性，不妨设2sec2tanba（为锐角）所以sin22sincos22tan22sec2222coscoscosab所以2ab的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面二、选择题(每小题5分，共20分)13.抛物线28yx的焦点坐标（）A.0?  2，B.2?  0，C.4?  0，D.0?  4，【答案】B【解析】由抛物线方程28yx知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为4(,0)20)2即（，，所以选B。14.己知,mn是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）A.已知//ma，若//n，则//nmB.已知//m，若nm，则nC.已知m，若nm，则//nD.已知m，若//nm，则n【答案】D【解析】【分析】A.n和m的方向无法确定,不正确；B.要得到n,需要n垂直于平面内两条相交直线,不正确；C.直线n有可能在平面内,不正确；D.平行于平面的垂线的直线与此平面垂直,正确.【详解】A.一条直线与一个平面平行,直线的方向无法确定,所以//nm不一定正确；B.一条直线与平面内两条相交直线垂直,则直线垂直于平面,nm无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线,所以n不一定正确；C.直线n有可能在平面内,所以//n不一定正确；D.//nm,则直线n与m的方向相同,m,则n,正确；故选：D【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断,遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.15.己知函数()(1cos)sinfxmxx，则（）A.仅有有限个m，使得()fx有零点B.不存在实数m,使得()fx有零点C.对任意的实数m，使得()fx有零点D.对任意的实数m,使得()fx零点个数为有限个【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式利用辅助角公式化简成2()1sinarctanfxmxmm,将sinx看成一个整体,取值范围为1,1,令0fx,得2sin1mxm,由21,11mm得0fx有无数解.【详解】2()(1cos)sin=sincos1sinarctanfxmxxxmxmmxmm令0fx,得2sin1mxm221mm