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上海市2018-2019学年高二数学下学期阶段性检测试题(含解析)一、填空题(本大题共12小题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i为虚数单位,若复数12aii是纯虚数,则实数a______.【答案】2【解析】【分析】利用复数的运算法则进行化简,然后再利用纯虚数的定义即可得出.【详解】∵复数(1+ai)(2+i)=2﹣a+(1+2a)i是纯虚数,∴20120aa,解得a=2.故答案为:2.【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键,本题属于基础题.2.椭圆5cos4sinxy(为参数)的焦距为______.【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程,即可求出椭圆的焦距.【详解】将5cos4sinxy变形为cos5sin4xy,平方相加消去参数θ可得:2212516xy,所以,c25163,所以,焦距为2c=6.故答案为6.【点睛】本题考查椭圆的参数方程,考查椭圆的性质,正确转化为普通方程是关键.3.以椭圆2212xy的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程是______.【答案】221xy【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标,得出双曲线的顶点和焦点,从而求出双曲线的方程.【详解】椭圆2212xy的焦点为F(±1,0),顶点为(±2,0);则双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0),∴a=1,c=2,∴b2221ca1,∴双曲线的方程为221xy,故答案为:221xy.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题,是基础题.4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23的扇形,当侧面积是27时,则该圆锥体的体积是______.【答案】182【解析】【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长,展开图的弧长是底面圆的周长,可以求出圆锥的母线和底面圆半径,从而得出高和体积.【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l,则侧面展开图扇形的面积S12 23l2=27π;∴l=9.又设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=23l,∴r13l=3;∴圆锥的高h2281962lr;∴该圆锥体的体积是:V圆锥13•πr2•h13•π•9•62182.故答案为:182.【点睛】本题考查圆锥的体积公式,考查了空间想象能力,计算能力,关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题.5.已知实数x、y满足11yxxyy,则目标函数2zxy的最大值为______.【答案】5【解析】试题分析:可行域为一个三角形ABC及其内部,其中(1,1),(2,1),(1,0)ABC,直线2zxy过点C时取最大值1.考点:线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同,若圆柱M与球O的体积相等,则它们的表面积之比:SS圆柱球______.(用数值作答)【答案】76【解析】【分析】由已知中圆柱M与球O的体积相等,可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系,进而求出圆柱和球的表面积后,即可得到S圆柱:S球的值.【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R,M的高为h则球的表面积S球=4πR2又∵圆柱M与球O的体积相等即2343RhR解得h=43R,4πR2=2πR2+2πR•h则S圆柱=2πR2+2πR•h=2143R,S球24R,∴S圆柱:S球147436:,故答案为:76.【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积,圆柱的体积和表面积,其中根据已知求出圆柱的高,是解答本题的关键.7.若虛数1z、2z是实系数一元二次方程20xpxq的两个根,且212zz,则pq______.【答案】1【解析】【分析】设z1=a+bi,则z2=a﹣bi,(a,b∈R),根据两个复数相等的充要条件求出z1,z2,再由根与系数的关系求得p,q的值.【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数,设z1=a+bi,则z2=a﹣bi,(a,b∈R且b0),又212zz,则222abiaba﹣bi,∴(2a+b)+(a+2b)i=1﹣i,∴22122ab32aababb.∴z1=12+32i,z2=1322i,(或z2=12+32i,z1=1322i)由根与系数的关系,得p=﹣(z1+z2)=1,q=z1•z2=1,∴pq=1.故答案为:1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题,考查了两个复数相等的充要条件,属于基础题.8.已知双曲线221xy,1A、2A是它的两个顶点,点P是双曲线上的点,且直线1PA的斜率是12,则直线2PA的斜率为______.【答案】2【解析】【分析】设P(x0,y0),则22001xy,202011yx,由A1(﹣1,0),A2(1,0),知k1k2200020001111yyyxxx,由此能求出直线PA2的斜率.【详解】设P(x0,y0),则22001xy,∴202011yx,∵A1(﹣1,0),A2(1,0),设直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,∴k1k2200020001111yyyxxx,∵k11 2,∴k22.故答案为:2.【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法,考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系,考查了分析问题的能力,属于基础题.9.已知半径为R的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于3R,且经过这三个点的小圆周长为4,则R______.【答案】23【解析】【分析】根据题意,得出AB=BC=CA=R,利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r,故可以得到高,设D是BC的中点,在△OBC中,又可以得到角以及边与R的关系,在Rt△ABD中,再利用直角三角形的勾股定理,即可解出R.【详解】∵球面上三个点,其中任意两点间的球面距离都等于3R,∴∠ABC=∠BCA=∠CAB3,∴AB=BC=CA=R,设球心为O,因为正三角形ABC的外径r=2,故高AD32r=3,D是BC的中点.在△OBC中,BO=CO=R,∠BOC3,所以BC=BO=R,BD12BC12R.在Rt△ABD中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2,得R214R2+9,所以R=23.故答案为:23.【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用,考查了空间想象能力,是基础题.10.关于x的方程21xxm有一个实数解,则实数m的取值范围是______.【答案】m1.【解析】【分析】由题意可得,函数y=x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点,对函数y2mx的m分类,分别画出y2mx的图象,可求出实数m的取值范围.【详解】∵关于x的方程x+12mx有一个实数解,故直线y=x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点.在同一坐标系中分别画出函数y=x+1的图象和函数y2mx的图象.由于函数y2mx,当m=0时,y22mxxx和直线y=x+1的图象如图:满足有一个交点;当m0时,y2mxy2﹣x2=m(y0)此双曲线y2﹣x2=m的渐近线方程为y=±x,其中y=x与直线y=x+1平行,双曲线y2﹣x2=m的顶点坐标为(0,m),如图:只要m0,均满足函数y=x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点,当m0时,y2mxx2﹣y2=﹣m(y0),此双曲线x2﹣y2=﹣m的渐近线方程为y=±x,其中y=x与直线y=x+1平行,而双曲线x2﹣y2=﹣m的顶点坐标为(m,0),如图:当1m时,满足函数y=x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点,即当1m0时符合题意;综上: m1,故答案为:m1.【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用,将问题转化为直线y=x+1的图象和函数y2mx的图象有一个交点,是解答本题的关键,考查了数形结合思想,属于中档题.11.棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,点M、N分别在线段1AB、1BC上运动(不包括线段端点),且AMBN.以下结论:①1AAMN;②若点M、N分别为线段1AB、1BC的中点,则由线MN与1AB确定的平面在正方体1111ABCDABCD上的截面为等边三角形;③四面体MBCN的体积的最大值为124;④直线1DM与直线1AN的夹角为定值.其中正确的结论为______.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】①作NE⊥BC,MF⊥AB,垂足分别为E,F,可得四边形MNEF是矩形,可得MN∥FE,利用AA1⊥面AC,可得结论成立;②截面为△AB1C,为等边三角形,故正确.③设=BN1λBC,则MBCNV=13BCNSdM﹣BCN=11λ1λ624(),故③成立;④设=BN1λBC,当λ接近于0时,直线1MD与直线1NA的夹角接近于3,当λ接近于1时,夹角接近于2,故④不正确;【详解】①作NE⊥BC,MF⊥AB,垂足分别为E,F,∵AM=BN,∴NE=MF,∴四边形MNEF是矩形,∴MN∥FE,∵AA1⊥面AC,EF⊂面AC,∴AA1⊥EF,∴AA1⊥MN,故①正确;②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点,则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上的截面为△AB1C,为等边三角形,故②正确.③设=BN1λBC,则MBCNV=13BCNSdM﹣BCN,又AM=BN=11λBλACB,∴BCNS=1λ2,dM﹣BCN=1λAB1λ,∴MBCNV=13BCNSdM﹣BCN=11λ1λ624(),当且仅当1λ2时取得最大值,故③成立;④设=BN1λBC,当λ接近于0时,直线1MD与直线1NA的夹角近似于直线1AD和直线1BA的夹角,接近于3,当λ接近于1时,直线1MD与直线1NA的夹角近似于直线11DB和直线11AC的夹角,接近于2,故④不正确;综上可知,正确的结论为①②③故答案为:①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.”同一事物从不同角度看,我们会有不同的认识.请解决以下问题:设函数2()(21)2(,,0)fxaxbxaabRa在3,4至少有一个零点,则22ab的最小值为______.【答案】1100【解析】【分析】把等式看成关于a,b的直线方程:(x2﹣1)a+2xb+x﹣2=0,由于直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,从而可得222222(1)(2)xabxx,从而可得a2+b222221()51(24)2xxxx;从而解得.【详解】把等式看成关于a,b的直线方程:(x2﹣1)a+2xb+x﹣2=0,由于直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,即222222(1)(2)xabxx,所以a2+b222221()51(24)2xxxx,∵x﹣252x在[3,4]是减函数,∴252x﹣252x1+5;即92x﹣252x6;故2115100(24)2xx;当x=3,a225,b350时取等号,故a2+b2的最小值为1100.故答案为:1100.【点睛】本题考查了函数的零点的应用,把等式看成关于a,b的直线方程(x2﹣1)a+2xb+x﹣2=0是难点,属于较难题.二、选择题(本大题共有4小题,满分20分
本文标题:上海市2018-2019学年高二数学下学期阶段性检测试题(含解析)
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