陕西省咸阳市2019届高三数学模拟检测试卷（三）理（含解析）

咸阳市2019年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题，分别求得集合A和B，再求其交集即可.【详解】由题，对于集合A，，所以集合对于集合B，，所以集合所以故选C【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先解出复数并化简，找出复数z在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可.【详解】解：由，得所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3.已知平面向量，若向量与向量b共线，则x=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题，先求得向量，再向量与向量b共线解得x的值.【详解】因为平面向量，即=（6,2x+2）又因为向量与向量b，所以4x+4=12，解得x=故选B【点睛】本题考查了平面向量的共线，熟练公式是解题的关键，属于基础题.4.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）x12345y1015304550A.60万元B.63万元C.65万元D.69万元【答案】B【解析】【分析】由题求得样本中心，代入求得a的值，再将x=6代入解得结果.【详解】由题，因为，将代入可得：所以回归方程，再将代入，解得故选B【点睛】本题考查了线性回归方程，属于较为基础题.5.程序框图如图，当输入x为2019时，输出y的值为（）A.B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】由流程图不断循环，找到其中规律，然后可得出输出值.【详解】解：输入，得，第1次判断为是，得；第2次判断为是，得……一直循环下去，每次判断为是，得都减3，直到，判断结果为否，得到输出值故选：A.【点睛】本题考查了循环结构流程图，看懂流程图，找到循环规律是关键，属于基础题.6.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若则△ABC的形状为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得：所以所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.7.在正方体中，E、F分别是的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题，AD的中点为M，易证，即角为所求角，利用余弦定理可得答案.【详解】在正方体中，取AD的中点为M，连接ME，设正方体的边长为1因为在正方体中，F点为的中点，M点为AD的中点，所以与CM平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以所以异面直线所成角也就是所成的角正方体边长设为1，所以所以故选D【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题.8.函数的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可.【详解】解：由，得，又，结合选项中图像，可直接排除B，C，D故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10.若a0，b0，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为而定积分当且紧当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则()A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】分别有椭圆和双曲线的定义表示出AB和BC的长，再利用勾股定理化简可得结果.【详解】如图由题，设椭圆的长半轴为，双曲线的半实轴为，根据椭圆和双曲线定义：可得设在直角三角形ABC中，由勾股定理可得即即2故选B【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12.已知函数为R上的偶函数，当时当时，且对恒成立，函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先对恒成立得恒成立，由当时，；当时，，得函数在上单调递减，在单调递增，由函数为R上的偶函数，且时，，可得函数在上单调递减，在单调递增，且图像关于y轴对称，最小值为，又因为的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，且最大值为1，所以的最小正周期，且过点，然后可求出解析式.【详解】解：因为对恒成立，且的最大值为1所以恒成立又当时，；当时，所以函数在上单调递减，在单调递增又因为函数为R上的偶函数，且时，所以函数在上单调递减，在单调递增，且图像关于y轴对称所以函数的最小值为因为函数最大值为1且与的图像恰好有两个公共点，则这两个公共点必在和处所以函数的最小正周期，所以又过点，即,所以所以故选：A【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性得综合运用，三角函数的图像与性质，属于中档题.二、填空题.13.已知，则的值为________.【答案】【解析】【分析】先用二倍角展开，分母添上，然后分子分母同除以，代入即可.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，齐次弦化切，属于基础题.14.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书.最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是_____【答案】化学【解析】【分析】利用推理可得，乙、丙、丁均提到甲的信息，所以可以推得甲所获得的图书.【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，乙不正确说明甲没有得到英语书；丙不正确说明甲没有得到数学书；丁不正确说明甲没有得到物理书，综上可知甲得到的是化学书.【点睛】本题主要考查合情推理，结合逻辑进行推理，属于简单题.15.已知定义在R上的奇函数的图像关于点(2,0)对称，且,则_______【答案】3【解析】【分析】先由函数关于(2,0)对称，求出，然后由奇函数可求出.【详解】解：函数的图像关于点(2,0)对称，所以又因为函数为奇函数，所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的对称性和奇偶性，结合图像简图观察更加形象直观.16.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则|AB|=_____【答案】6【解析】【分析】先设直线方程联立抛物线方程得，由抛物线的焦半径公式写出列式可解出，然后由可求出答案.【详解】解：由抛物线，得，当直线AB垂直与x轴时，，不符合故可设直线AB：，联立抛物线得所以由抛物线的焦半径可知，所以所以，故答案为：6【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等差数列，是前n项和且.（I）求数列通项公式；(Ⅱ)若数列满足.求数列的前n项和【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列通项与求和公式直接列出方程组可解出，然后可求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，用裂项相消法求和即可.【详解】解：（Ⅰ）由得解得所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，裂项相消法求和，属于基础题.18.随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】(1)由题易知学习物理且学习化学的学生共有9人，学习生物的有4人，选3人至少两个人选生物就是恰好2个人生物或3个人都是生物，可得结果;(2)由题可得，选择地理还有2人，所以可得X=0,1,2，求其概率和分布列以及期望.【详解】解：(1)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率.(2)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X可取0,1,2.X012P.【点睛】本题考查了概率和离散随机变量，属于较为基础题.19.已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】【分析】（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.【详解】解：（Ⅰ）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，所以，则，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，设该椭圆方程为，则，所以，可得动点P的轨迹E的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，点M是EC的中点．(1)求证:平面ADEF平面BDE.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)由勾股定理可得BD⊥AD，再利用面面垂直的性质可得ED⊥BD，结论得证；（2）建立直角坐标系，分别求出平面BDE和平面BDM的法向量，利用空间向量求其二面角可得答案.【详解】解：(1)由题可知AD=BD=2，AB=则AD2+BD2=AB²，根据勾股定理有BD⊥AD，又因正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，则ED⊥平面ABCD，则ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF.而BD平面BDE，所以平面ADEF⊥平面BDE.(2)以D为坐标原点，分别以DA，DB，