材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩

上海交通大学§8-1引言§8-2轴力与轴力图§8-3拉压杆的应力与圣维南原理§8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能§8-5应力集中的概念§8-6失效、许用应力与强度条件§8-7胡克定律与拉压杆的变形§8-8简单拉压静不定问题§8-9连接部分的强度计算第八章轴向拉伸与压缩上海交通大学一、轴向拉伸与压缩的概念及实例1．工程实例§8-1引言简易吊车中：AC杆受拉、BC杆受压、钢丝绳受拉。结构中二力杆：受拉或受压。ABCP千斤顶中：顶杆受压。内燃机中：连杆AB有时受压、有时受拉。上海交通大学轴向压缩，两端受压力作用，杆的变形是轴向缩短，横向增大。轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。力学简图：FFFF2．特点受力特点：两端受大小相等、方向相反的外力作用，外力(或其合力)的作用线与杆件的轴线重合。变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横向尺寸的变化(减小或增大)。上海交通大学一、轴向拉伸与压缩时杆的内力——轴力§8-2轴力与轴力图杆受拉如图示，求横截面m–m上的内力。FFmmFNFmm截面法：用一平面假想地沿m–m截面切开杆件，将其分为左右两段，任取一段分析。设取左段分析。左段受力：外力F，内力内力为一分布力系，将其向截面形心简化，合力为FN。在外力F、内力FN作用下保持平衡，有SFx=0FN–F=0得FN=FFN为拉力内力FN的作用线与F重合，即与杆件轴线重合，并垂直于横截面，称FN为轴力。上海交通大学FFmmFNFmm取右段分析时，结果相同：F'N=F可知FN与F'N为作用和反作用的关系。FmF'N可知FN只与外力有关，而与杆件横截面形状、尺寸、材料无关。规定：杆受拉伸长时，FN为正；杆受压缩短时，FN为负。若在杆件中间部分还有外力作用，则杆件不同段上的轴力有所不同，可分段用截面法计算。上海交通大学二、轴力的计算例1杆受力如图示，F1=5kN，F2=20kN，F3=25kN，F4=10kN。试求各段轴力。解：AB段轴力FN1：取截面1–1SFx=0FN1–F1=0得FN1=F1=5kN(拉)ABCDF2F1F3F41111AF1FN1上海交通大学例1杆受力如图示，F1=5kN，F2=20kN，F3=25kN，F4=10kN。试求各段轴力。BC段轴力FN2：取截面2–2SFx=0FN2+F2–F1=0得FN2=F1–F2=–15kN(压)ABCDF2F1F3F41111AF1FN1FN1=5kN22ABF2F122FN2CD段轴力FN3：取截面3–333FN3DF433SFx=0F4–FN3=0得FN4=F4=10kN(拉)上海交通大学ABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kNFN3=10kN三、轴力图在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。横轴x：杆横截面位置；纵轴FN：杆横截面上的轴力。正值轴力(拉)绘在横轴上方，负值轴力(压)绘在横轴下方。FNx5kN–15kN10kN++-BACD上海交通大学ABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kNFN3=10kNFNx5kN–15kN10kNABCD轴力图作用：1.显示出杆件各横截面上轴力的大小，并可确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置；2.表示出杆件各段的变形是拉伸还是压缩；3.表示出杆件轴力沿轴线的变化情况。㊉㊀㊉上海交通大学ABCDF2F1F3F411FN1=5kN2233FN2=–15kNFN3=10kNFNx5kN–15kN10kN++-ABCD可知：1.杆件AB段、CD段受拉，产生伸长变形；BC段受压，产生缩短变形；2.杆件|FN|max=|FN2|=15kN，位于BC段。轴力图的特点：在集中力作用处，图中有突变，突变值=集中载荷数值上海交通大学问题提出：FFFF拉压杆强度不仅与轴力大小有关，而且与杆横截面面积有关，须用应力来度量杆件的受力程度。§8-3拉压杆的应力与圣维南原理一、拉压杆横截面上的应力等直杆受拉力作用，求横截面m–m上的应力。mm横截面FF上海交通大学mm横截面FFmmFFNs横截面m–m上有轴力FN，FN分布在整个横截面上。轴力FN⊥横截面应力也⊥横截面∴横截面上存在正应力s，其合力即为轴力FN，即：FN=∫AsdA(a)仅由(a)式不能确定s与FN之间的关系。应研究杆件受拉后的变形，以确定s在横截面上的分布规律。上海交通大学abcdld'a'c'b'观察实验：在杆侧表面作横向直线ab、cd，ab∥cd，间距l。FF现象：1.杆伸长变细；2.横向直线ab、cd各平移至a'b'、c'd'，a'b'∥c'd'；两端加拉力F，使杆发生变形。3.间距：ll+Dll+Dl上海交通大学abcdld'a'c'b'平面截面假设：轴向拉伸过程中，原为平面的横截面在变形后仍保持为平面。FF由此推断：l+Dl两横截面间各纵向纤维变形相同性质相同受力相等。∴轴力FN在横截面上均匀分布，各点正应力相等。即s=常量上海交通大学abcdld'a'c'b'FFl+Dl代入(a)式：得FN=∫AsdA=s∫AdA=sA∴AFNs即为受拉杆横截面上正应力的计算公式，式中A为杆横截面面积。杆受压时同样分析，可得同样结果。由式可知：1.FNs，As；2.s与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际情况。上海交通大学注意：1.公式仅适用于轴向拉压情况；2.公式不适用于外力作用区域附近部分。讨论：1.当杆受几个外力作用时，各段轴力不相等，先求各段轴力FNi，找出最大轴力FNnax，则最大正应力2.当杆由几段不等截面组成时，应分段求si在外力作用区域附近，s并不均布，而是由外力的作用情况而定。FFAFNmaxmaxs为杆件最大工作应力，smax所在截面称为危险截面。iiAFNis其中最大正应力即为杆的最大工作应力smax。s上海交通大学例2例1中杆横截面A=3cm2。试求其最大正应力。FN1=5kN，FN2=–15kN，FN3=10kNFN1=5kNBC段轴力为|FN|maxABCDF2F1F3F4112233为压应力。FN2=–15kNFN3=10kN解：由例1得各段轴力为∴MPa50m/N105010310152643N2max----AFs上海交通大学例3已知正方形截面杆受力如图示，a=24mm，b=37mm，F=50kN。试求其最大正应力。AB段：截面1-1解：1)计算各段轴力2)确定smaxMPa87m/N108710241050266231N11----AFsCABFFF11BC段：截面2-2SFx=0–FN1–F=0FN1=–F=–50kN(压)SFx=0–FN2–3F=0FN2=–3F=–150kN(压)11FFN1FN222FFFAB段：MPa110m/N10110103710150266232N22----AFsBC段：∴smax=s2=–110MPa(压应力)22上海交通大学例4已知支架如图示，F=10kN，A1=A2=100mm2。试求两杆应力。截面法：取销B和杆1、2的一部分分析解：1)计算两杆轴力2)计算两杆应力MPa4.141m/N1014.14101001014.1427631N1AB-AFs受力：F、轴力FN1、FN2SFx=0–FN2–FN1cos45º=0∴FN1=1.414F=14.14kN(拉)SFy=0FN1sin45º–F=0FN2=–F=–10kN(压)AB杆：MPa100m/N101010100101027632N2BC----AFsBC段：ACBF45º12BFFN2FN1上海交通大学FFkkaa二、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等截面直杆受拉力F作用。求：斜截面k-k上的应力。采用截面法得斜截面上内力：Fa=FaaaaAFAFp斜截面面积Aa：且AaA/cosa。asaaaacoscos0AFAFp由平面假设同样可得斜截面上应力均布，即：拉(压)杆的破坏有时沿斜截面发生，应讨论斜截面上的应力。n斜截面k-k的位置：由其外法线n与杆轴线的夹角a确定：由杆轴线至外法线n为逆时针时，夹角a为正，反之为负。FaaFkkpa代入面积关系：s0为横截面上的应力。上海交通大学∴斜截面k-k上的全应力为FFkkanakFakpa可知：sa、ta的大小和方向随a的改变而改变。tasaapa=s0cosa将pa沿斜截面的垂直方向和平行方向分解：papaF)2cos1(2cos0asasaa+pasaasataa2sin2sincossin00p即过杆内同一点的不同斜截面上的应力不同。sa=s(a)ta=t(a)上海交通大学讨论：当a=45º时，s45º=s0/2t45º=s0/2当a=0º时(横截面)，s0º=s0=smaxt0º=0可知在a=±45º时，有2||0maxsta即在45º的斜截面上剪应力达到最大值。)2cos1(2cos0asasaa+pasaasataa2sin2sincossin00p当a=90º时(纵截面)，s90º=0t90º=0当a=–45º时，s–45º=s0/2t–45º=–s0/2上海交通大学符号规定：当ta绕杆内任一点顺时针方向时为正，当sa与斜截面的外法线n同向时为正，反之为负。由a=45º和a=–45º时可知：相互垂直的截面上的切应力大小相等，方向相反。nFta(+)sa(+)nFta(–)sa(–)设相互垂直的截面为：a，a1=a+90ºasta2sin20001100sin2sin[2(90)]22sin(2180)sin222aasstaassaat++--即a与a1=a+90º的截面上的切应力大小相等，方向相反。上海交通大学asta2sin20001100sin2sin[2(90)]22sin(2180)sin222aasstaassaat++--即a与a1=a+90º的截面上的切应力大小相等，方向相反。切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切应力必成对存在，且数值相等，方向相反。naa1n1tata1上海交通大学MPa7.632/4.1272/0maxstMPa5.95)60cos1(24.127)2cos1(20++assaMPa2.5560sin24.1272sin20astaMPa3.1271010410106230-sAF例5直径为d=1cm杆受拉力F=10kN的作用。试求与横截面夹角30º的斜截面上的正应力和切应力，并求最大切应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：上海交通大学sF11h/433Fsh22Fsh/2三、圣维南(Saint-Venant)原理在外力作用区域附近，s并不均布，而是由外力的作用情况而定。FFdh11h/4dshFh/222圣维南原理：外力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。33hs576.2s198.0s387.1s668.0s027.1s973.0截面1-1截面2-2截面3-3上海交通大学由圣维南原理可知：在离开载荷作用处一定距离外，应力的分布不受外载荷作用方式的影响。因此，对静力等效的杆件，在外力作用区域外的应力分布是相同的。FFFFFF上海交通大学§8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能一、拉伸试验与应力—应变图截面尺寸相同、拉力相同、但材料不同的杆件的承载能力不同，即构件的承载能力与其材料的力学性能有关。力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中所呈现的在变形和破坏方面所具有的特性和规律。力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。静拉伸试验：常温(室温)、静载(加载缓慢平稳)。GB228-1987标准试件：圆试件：长试件l=5d短试件l=5d平板试件：长试件l=11.3短试件l=5.65AA上海交通大学试验设备仪器：万能