陕西省西安中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理（含解析）

陕西省西安中学2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程.【详解】抛物线x2=-8y可得2p=8所以故准线方程为y=2故选B【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A.B.1，C.D.1，【答案】C【解析】【分析】先根据题意，设出与共线的单位向量可为，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案.【详解】因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为且解得所以可得与共线的单位向量为或故选C【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.3.下列说法中正确的是()A.若，则四点构成一个平行四边形B.若，，则C.若和都是单位向量，则D.零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。【详解】对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则不一定成立，故B错误；对于选项C，若方向不同，则，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确。故答案为D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。4.给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案．【详解】①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．是真命题，所以②正确．③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．故选：B．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即所以离心率故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.6.“”是“的最小正周期为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以周期为，当的最小正周期为时，，所以，因此“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件.故选A.7.若曲线表示椭圆，则的取值范围是()A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.【详解】曲线表示椭圆，，解得，且，的取值范围是或，故选D．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（）A.4，B.0，C.3，D.【答案】C【解析】【分析】由题意，点P在平面内，可得，然后再验证答案，易知C选项可得，此时，得出答案.【详解】因为点M、P是平面内的点，平面的一个法向量=（2，-1，2），所以对于答案C，此时故选C【点睛】本题主要考查了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为基础题.9.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A.[3-,）B.[3+,）C.[,）D.[,）【答案】B【解析】试题分析：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，所以当x0=时，取得最小值=，故的取值范围是[，+∞)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【此处有视频，请去附件查看】10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求．【详解】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA-d=1，即-（x+1）=1，化简得：y2=8x．故选C．【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1，属于中档题.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中，所以解得所以故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.12.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，本题选择A选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______；【答案】10【解析】【分析】先根据题意求出，再利用抛物线的焦点弦代入得出答案即可.【详解】抛物线y2=4x中，过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则焦点弦故答案为10【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题.14.已知，且，，，则=______；【答案】【解析】【分析】先求出，，，然后利用，展开计算即可。【详解】由题意，，，，则，则.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，考查了计算能力，属于基础题。15.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k-32k2）x+64k2-64k-20=0，∴，解得k=-，故直线l的方程为x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系16.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面,且，分别为棱的中点，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】【分析】由题意，过点作的垂线，垂足为，可证明平面，设点到平面的距离为，则，即,求解即可。【详解】由题意，，侧面底面，故侧面，则，又因为为棱的中点，所以，，因为，所以为正三角形，分别过点作的垂线，垂足为，则，，因为，所以，因为为棱的中点，所以，设点到平面的距离为，则，即,则.故点到平面的距离为.【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【答案】（1）焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.（2）∠F1PF2＝90°.【解析】【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）由双曲线的性质可得，结合余弦定理，即可求出.【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程，则，长轴长为6，渐近线方程是.（2），且,则,因为，所以，故.【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题。18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．【详解】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==所以异面直线AE与A1C所成的角为．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角C-AG-E的平面角正切值是【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥