陕西省西安市交通大学附属中学2018届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

陕西省西安市交通大学附属中学2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合1|21xAx，|1Byyx，则AB（）．A．[1,0)B．[1,1)C．[0,1]D．[0,1)【答案】D【解析】解：由121x，得1x，故集合(,1)A，集合[0,)B，所以[0,1)AB．故选D．2．已知(1i)3iz（其中i为虚数单位），则||z（）．A．5B．3C．5D．2【答案】C【解析】解：由(1i)3iz，得3i(3i)(1i)42i2i1i(1i)(1i)2z，所以22||2(1)5z．故选C．3．已知向量(1,2)a，(,1)bmm，若()aba⊥，则实数m的值为（）．A．7B．7C．6D．5【答案】A【解析】解：(1,3)abmm，由()aba⊥，得(1,3)(1,2)0mm，得1620mm，解得7m．故选A．4．若“xm”是“2320xx”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）．A．[1,)B．(,2]C．(,1]D．[2,)【答案】C【解析】解：由2320xx，得12x，根据题意(1,2)(,)mÜ，所以只要1m≤即可．故选C．5．已知1212a，5log2b，1102c，则a，b，c的大小关系为（）．A．abcB．bacC．bcaD．cba【答案】B【解析】解：1102111222，故112a，5551log2log4log52b，1010221c，所以bac．故选B．6．若3π1tan(π2π)22，则cos（）．A．55B．55C．255D．255【答案】A【解析】解：πsin3ππcos12tantanπ22sin2cos2，则sin2cos，∵22sincos1，∴21cos5，由题意π2π，则sin0，∴cos0，∴5cos5．7．如图，一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的边框为正三角形，俯视图中两个同心圆的半径分别为1，2，则该几何体的表面积为（）．A．2(63)πB．(63)πC．1(63)π2D．(1123)π正视图侧视图俯视图【答案】A【解析】解：该空间几何体是一个底面半径为2、母线长为4的圆锥挖去了一个底面半径为1的内接圆柱，圆锥的高为23，故挖去的内接圆柱的高为3，所以其表面积为2π442π13π212π23π2(63)π．故选A．8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F分别为BC，CD的中点，则()AEAFBF（）．A．32B．34C．94D．92【答案】B【解析】解：111()222AEAFBFABADADABADABAB31()22ABADABAD34．故选B．9．函数ln||()e2sinxfxx的图像大致是（）．A．yx1O62462412345B．54321426426O1xyC．54321426426O1xyD．54321426426O1xy【答案】B【解析】解：当0x时，()2sinfxxx，()12cosfxx，令12cos0x，解得1cos2x，所以ππ2π2π33kxk，kZ，取0k，且0x，可得()fx在π0,3上单调递减，排除选项A、C；π(1)12sin112sin1313f，排除选项D．故ln||()e2sinxfxx的图像大致是选项B中的图像．10．设x，y满足约束条件122323xyxyxy≥≥≤，若目标函数(0)zaxya的最大值为294，则目标函数z的最小值为（）．A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】解：y3=03x2y=1x+y+2=0x2A12112Oxy不等式组表示的平面区域如图所示，其中59,24A，目标函数化为yaxz，z的几何意义是直线(0)yaxza在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值，所以5929244a，解得2a，故目标函数2zxy在点(0,1)处取得最小值，且最小值为1．故选C．11．已知正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，若该三棱柱位于一个球内，则该球体积的最小值为（）．A．7π3B．721π54C．7π4D．721π18【答案】B【解析】解：C1D1B1A1DOABC只有当该三棱柱的各个顶点都在球面上时球的体积最小，如图，D，1D分别是两底面的中点，则球心O为1DD的中点，12OD，233323AD，所以球的半径1174312OA，所以球的体积为22447721πππ331254OA．故选B．12．若[2,)x，2(4412)e2(23)exxmxxxx≤，则实数m（）．A．有最小值314e，无最大值B．有最小值3142e，无最大值C．有最小值314e，无最大值314eD．有最小值3142e，无最大值314e【答案】B【解析】解：依题意，分离参数可得2236222exxxxxm≤，令323()622exxgxxxx，故1()(1)36exgxxx，因为2x≥，故1360exx，当[2,1)x时，()0gx，()gx在[2,1)上单调递减，当(1,)x时，()0gx，()gx在(1,)上单调递增，故min31()(1)2egxg，min()(1)312242egxgm≥．故选B．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．命题:p方程210xax为实根，命题2:log0qa，若pq为真命题，则实数a的取值范围为__________．【答案】12a【解析】解：由命题p为真命题得240a，解得22a，由命题q为真命题得1a，若pq为真命题，则p，q均为真命题，则12a．14．已知正实数a，b满足22ab，则2abab的最小值是__________．【答案】92【解析】解：212112(2)2ababababab12215(54)22baab≥92，当且仅当ab时取等号，即23ab时取得，故2abab的最小值为92．15．设数列na的前n项和为nS，已知11a，121nnaS，*nN，则数列29na的最大项的值为__________．【答案】181【解析】解：由题意23a，当a≥2时，112()2nnnnnaaSSa，∴13nnaa，因为213aa，所以13nna，设129293nnnnnba，因为112729204333nnnnnnnnbb，当5n时，1nnbb，当5n时，1nnbb，当5n时，1nbb，所以29nna的最大项为45181bb．16．把函数sin3cos(0)yxx的图像向左平移π6个单位，得到的函数图像关于直线π4x对称，且在π5π,424内存在零点，则的最小值为__________．【答案】22【解析】解：π2sin3yx向左平移π6个单位，得ππ2sin63yx，再把其图像向右平移π4个单位，得πππππ2sin2sin463123yxx，该函数图像关于y轴对称且在π0,24内存在零点，所以ππππ+()1232kkZ，此时2cosyx，在π0,24内存在零点，则12ππ424，即122k且12，所以的最小值为22．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知等差数列na的公差不等于零，nS为其前n项和，10110S，且1a，2a，4a成等比数列．（1）求na的通项公式．（2）记12nnnba，求数列nb的前n项和nT．【答案】见解析．【解析】解：（1）设na的公差为d，由10110S，得11045110ad，即12922ad，由1a，2a，3a成等比数列，得2111()(3)adaad，即21dad，因为0d，所以1ad，解得12ad，所以2(1)22nann．（2）由（1）得2nnbn，12322322nnTn①，则23412223322nnTn②，①②，得21112222222nnnnnTnn，所以1(1)22nnTn．18．（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若sin3cos0aBbA，求角A．（2）若D为BC边的中点，4AB，6AC8BC，求AD．【答案】见解析．【解析】解：（1）由正弦定理，得sinsin3sincos0ABBA，因为sin0B，所以sin3cos0AA，即tan3A，因为0πA，所以π3A．（2）设ADBa，则πADCa，ADm，在ABD△中，由余弦定理，得222448cosmma，在ACD△中，由余弦定理，得222648cosmma，上述两式相加，得2222246244m，解得10m，所以10AD．19．（本小题满分12分）已知函数()xfxeaxa，aR．（1）当1a时，求()fx的最小值．（2）()fx有两个不同零点，求实数a的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）1a时，()1xfxex，()1xfxe，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，故0x为()fx在定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，所以min()(0)0fxf．（2）()xfxea，当0a≤时，()0fx，()fx在(,)上单调递增，方程()0fx不可能有两个解．当0a时，由()0fx，解得lnxa，由()0fx，解得lnxa，故lnxa为函数()fx在定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故()fx的最小值为(ln)lnfaaa，若()fx有两个不同零点，首先ln0aa，即1a，此时当x时，()fx，x时，()fx，故1a时，函数()fx有两个不同零点，所以实数a的取值范围是(1,)．20．（本小题满分12分）已知定义在R上的奇函数()fx，当0x时，()21xfx．（1）求()fx的解析式，并求()fx的单调区间．（2）解关于x的不等式22()(32)fxfaxa≥．【答案】见解析．【解析】解：（1）当0x时，0x，()()21xfxfx，当0x时，(0)(0)ff，得(0)0f，该式也适合0210，所以21,0()21,0xxxfxx≤，根据指数函数性质，()fx在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递减，且在0x时，两段的函数值相等，故()fx在(,)上单调递减．（2）由（1），不等式22()(32)fxfaxa≥，即2232xaxa≤，即22320xaxa≤，即