陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题文（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合|ln,1Ayyxx≥，|12,xBytxR则AB（）．A．[0,1]B．[0,1)C．(,1]D．[0,)【答案】B【解析】1x≥时，lnln10x≥，故[0,)A，因为20x，所以121x，故(,1)B，故[0,1)AB．故选B．2．已知i为虚数单位，复数13i22z的共轭复数为z，则||zz（）．A．13i22B．13i22C．13i22D．13i22【答案】B【解析】∵13i22z的共轭复数为z，∴13i22z，2213||122z，则1313||i1i2222zzz．故选B．3．已知在m，n，1l，2l表示直线，、表示平面．若m，n，1l，2l，12llM，则∥的一个充分条件是（）．A．m∥且1l∥B．m∥且n∥C．m∥且2nl∥D．1ml∥且2nl∥【答案】【解析】由题意得，m，n是平面内的两条直线，1l，2l是平面内的两条相交直线，要使∥，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可．故选D．4．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）．A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演【答案】C【解析】由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》．故选C．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是（）．n=n+2S=S+1nS=0,n=2输出S结束是否开始A．6nB．6nC．6n≤D．8n≤【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得0S，2n，满足条件，12S，4n，满足条件，113244S，6n，满足条件，1111124612S，8n，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为1112，故判断框中填写的内容可以是6n≤．故选C．6．已知1sincos3，则2πcos4（）．A．118B．19C．1718D．29【答案】C【解析】本题主要考查三角函数．因为1sincos3，故21(sincos)12sincos9，82sincos9，所以22π22117coscossin(12sincos)422218．故选C．7．已知ABC△的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与ABC△的关系为（）．A．P在ABC△内部B．P在ABC△外部C．P在AB边所在直线上D．P在ABC△的AC边的一个三等分点上【答案】D【解析】∵PAPBPCAB，∴PAPBPCPBPA，∴22PCPAAP，∴P是AC边的一个三等分点．故选D．8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）．A．3π120B．3π20C．3π120D．3π10【答案】A【解析】直角三角形的斜边长为2281517，设内切圆的半径为r，则81517rr，解得3r，∴内切圆的面积为2π9πr，∴豆子落在内切圆外部的概率19π3π11208152P．故选A．r8r15rr9．若实数x，y满足10,0,0,xyxyx≥≥≤则sin(2)zxy的最小值与最大值和是（）．A．1sin2B．sin2C．0D．1【答案】D【解析】如图，可行域，∴2(0,2]xy，∴sin(2)xy的最小值为1，最大值为0．故选D．1110．四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为（）．aaaCDABA．12πB．24πC．36πD．48π【答案】A【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥PABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，设该正方体的棱长为a，设处接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为22，即正方体面对角线也是22，可得222AGA，所以正方体棱长2a，∴RtOGA△中，112OGa，3AO，即外接球半径3R，∴外接球表面积为24π12πR．故答案为：12π．ODGABCEFP11．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是1A，2A，1B，2B，焦点为1F，2F，延长12BF与22AB交于P点，若12BPA∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）．F1F2PA1A2B1B2OyxA．514B．512C．514D．516【答案】B【解析】由题意，1222BFAB⊥，1(0,)Bb，1(,0)Fc，2(,0)Aa，2(0,)Bb，∴12(,)BFcb，22(,)ABab，212220BFABcab，即222bacac，即2e1e，2ee10，∴15e2，由椭圆0e1，∴51e2．故选B．12．定义：如果函数()fx在[,]ab上存在1x，2x，12()axxb，满足1()()()fbfafxba，2()()()fbfafxba，则称数1x，2x为[,]ab上的“对望数”，函数()fx为[,]ab上的“对望函数”．已知函数321()3fxxxm是[0,]m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）．A．31,2B．331,,322C．(2,3)D．3,32【答案】D【解析】由题意可知，在区间[0,]m存在1x，212(0)xxxm，满足1()(0)()fmffxm3213mmm213mm，∵321()3fxxxm，∴2()2fxxx，∴方程22123xxmm在区间(0,)m有两个解，令221()2(0)3gxxxmmxm，则222444031()031()031mmgxmmgmmmm，解得332m，∴实数m的取值范围是3,32．故选D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校对高三年级一次考试进行抽样分析．如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为96,98，98,100，100,102，102,104，[104,106]．已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是__________．0.0500.0750.1000.1250.15010410610210098960频率/组距分数【答案】90【解析】本题主要考查频率分布直方图．成绩小于100分的频率是(0.0500.100)20.300，频数是36，故样本容量是361200.300人，成绩大于或等于98分且小于104分的频率是(0.1000.1500.125)20.750，所以成绩大于或等于98分且小于104分的人数是1200.75090．14．函数221,1()log(1),1xxfxxx≤，的零点个数为__________．【答案】3【解析】①当1x≤时，令2()10fxx，解得1x或1x．②当1x时，令2()log(1)0fxx，解得2x，故函数221,1()log(1),1xxfxxx≤的零点个数为3．故答案为：3．15．已知离心率为2的双曲线221(,)xymnmnR的右焦点与抛物线24yx的焦点重合，则mn__________．【答案】13【解析】由题意可得1mn，4mnm，解得14m，34n，所以13mn．16．在ABC△中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC∠，则ABDS△__________．【答案】330【解析】解：如图，由5sin13B，得12cos13B，又∵3cos5ADC∠，∴3cos5ADB∠，4sin5ADB∠，∴sinsin()BADBBDA∠∠sincoscossinBBDABBDA∠∠531241351351548336565，由正弦定理得33||sinsinABBADADB∠∠，∴4335||413523365AB，∴1||||sin2ABDSABADB△∠153352213330．33DABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共70分）．17．（本题满分12分）已知等比数列na的各项为正数，且23269aaa，3229aa．（1）求na的通项公式．（2）设31323logloglognnnbaaa，若数列nb的前n和为nS，求100S．【答案】见解析．【解析】（1）设数列N的公比为q，∵23269aaa，即2242229aqaaq，解得29q，又0q，则3q，∵3229aa，即11969aa，解得13a，∴3nna．（2）31323logloglognaaa3123lognaaaa1233log3n(1)2nn，∴(1)122nnnnbn，∴10010110012103002S．18．（本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）．（1）求这15名乘客的平均候车时间．（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数．（3）若从下表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．组别候车时间人数一[0,5]2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1【答案】见解析．【解析】（1）11(2.527.5612.5417.5222.51)157.710.5min1515．（2）候车时间少于10分钟的概率为2681515，所以候车时间少于10分钟的人数为8603215人．（3）将第三组乘客编号为1a，2a，3a，4a，第四组乘客编号为1b，2b，从6人中任选两人有包含以下15个基本事件：12(,)aa，13(,)aa，14(,)aa，11(,)ab，12(,)ab，23(,)aa，24(,)aa，21(,)ab，22(,)ab，34(,)aa，31(,)ab，32(,)ab，41(,)ab，42(,)ab，12(,)bb，其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以概率为815．19．（本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC⊥底