数项级数收敛性的判别

班级：数学091姓名：韩海飞数项级数收敛性的判别摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一、定义定义1：设有数列表达式（1）称为数项级数，可记为，其中称为数项级数（1）的第n项或一般项。定义2：称为级数（1）的第n个部分和，数列称为它的部分和数列。定义3：设是级数（1）的部分和数列，若则说级数（1）的和是S，这时也说级数（1）是收敛（于S）的。记为：。若是发散数列，则称级数（1）发散。余项：定义4：绝对收敛：若1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛条件收敛：若1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛二、性质定理定理12.2若级数1nnu与1nnv都收敛，则对任意常数,cd，级数111()nnnnnnncudvcudv也收敛.定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收uuun21,,,:}{21uuuunn1nnuunuuuSnn21}{Sn}{SnSSnnlimSunn1}{SnSSrnn敛性,也不改变它的和.三、分类1、等比级数（几何级数）:2、p级数：)0(11pnnp3、正项级数:若0nu，则称nu为正项级数4、一般级数：任意，则称nu为一般级数三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数），1q时，级数收敛1q时，级数发散四、p级数收敛性判别法：p级数)0(11pnnp(1)当10p时，级数发散(2)当1p时，级数收敛例：21n为p-级数，p=21，显然此级数是收敛的.五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设nu与nv是两个正项级数，若（1）当10时，两级数同时收敛或同时发散；（2）当0l且级数nv收敛时，级数nu也收敛；（3）当l且级数nv发散时，级数nu也发散；qaaqan1qqaSnn1)1()1(q发散qaSnn1limqaaqan1uuun21例：判别级数n1sin的敛散性解：由于111sinlimnnn，根据比较原则，及调和级数n1发散，所以级数n1sin也发散.（2）比式判别法（极限形式）若nu为正项级数，且limquunn1则(1)当1q时，级数nu也收敛；(2)当1q时，或q时，级数nu发散；注：当1q时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数21n与n1，它们的比式极限都是1lim1nnnuu但21n是收敛的，而n1是发散的.（3）根式判别法（极限形式）若nu为正项级数，且1limnnnu则(1)当1l时，级数收敛(2)当1l时，级数发散注：当1l时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数21n与n1，二者都有1limnnnu，但21n是收敛的，而n1是发散的.但21n是收敛的，而n1是发散的.例：判别级数nn212的敛散性解：由于232123limlim122122mmmmmmuu612321limlim212212mmmmmmuu故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于2123limlim2222mmmmmmu2121limlim12121212mmmmmmu所以21limnnnu由根式判别法知原级数收敛.（4）积分判别法：设f是,1上非负递减函数那么正项级数)(nf与非正常积分1)(dxxf同时收敛或同时发散；例：讨论级数2)(ln1npnn的敛散性解：研究非正常积分2)(lnpxxdx，由于2ln22)(ln)(ln)(lnpppuduxxdxxdx当1p时收敛1p时发散，由积分判别法级数2)(ln1npnn在1p时收敛1p时发散（5）拉贝判别法（极限形式）若nu为正项级数，且ruunnnn)1(lim1存在，则(1)当1r时，级数nu收敛；(2)当1r时，级数nu发散；(3)当1r时拉贝判别法无法判断.例：讨论级数,)2(421231snn当3,2,1s时的敛散性解：无论3,2,1s哪一个值，级数,)2(421231snn的比式极限都有1lim1nnnuu所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当1s时，由于)(2122)22121()1(1nnnnnnuunnn所以级数是发散的.当2s时，由于)(1)22()34(])2212(1[)1(221nnnnnnnuunnn这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断，当3s时，由于)(23)22()71812(])2212(1[)1(3231nnnnnnnnuunnn所以级数收敛.六、一般级数收敛性的判别法（1）级数1nnu若0limnnu，则此级数发散.例：判断级数nnn2222的敛散性解：由于1)2(lim122nxnn，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数112111nnnaaaa的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.解记12111nnnauaaa,则121211211111111111nnnnnauaaaaaaaaa级数的前n项和112111111nnkknSuaaa所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数1nnu收敛的充要条件：,,0Nn当)(Nmnm时，Np有：mpmmuuu21例：证明级数21n的收敛证明：由于||21pmmmuuu=222)(1)2(1)1(1pmmm))(1(1)2)(1(1)1(1pmpmmmmm=）（）（）（pmpmmmmm1112111111=pmm11m1因此，对任给正数，取]1[N，使得当mN及任意自然数p，由上式就有||21pmmmuuum1由柯西收敛准则推得级数21n是收敛的.（4）绝对收敛定义法：若级数nu各项绝对值所组成的级数nu收敛，则原级数nu收敛；例：!!2!2nnnn的各项绝对值所组成的级数是!||!2||||!||2nnnn应用比式判别法，对于任意实数都有1||lim||||lim1nuunnnn=0因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数),2,1,0(11nuunnn满足下述两个条件：(1)数列nu单调递减；(2)0limnnu则级数),2,1,0(11nuunnn收敛.例：考察级数111)1(nnn的敛散性.解：因为111|1)1(|nnnn发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.（6）阿贝耳判别法：设级数nnba若na为单调有界数列，且级数nb收敛，则级数nnba收敛.例：讨论级数nnnxxn1)1((x0)的敛散性.解：对于数列{nnxx1}来说，当x0时，0nnxx1nnxx=1又1,110,1111)1(11111111xxxxxnnnnnnxxnnxxxx即数列{nnxx1}是单调有界的，又nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知道级数收敛.（7）狄利克雷判别法：设级数nnba若na单调递减，且0limnna又级数的部分和数列有界，则级数nnba收敛.例：证明：若数列{na}具有性质：naaa21,0nnalin则级数nxancos对任何x)2,0(都收敛.证明：因为)cos21(2sin21nkkxx=])21sin()21[sin()2sin23(sin2sinxnxnxxx=xn)21sin(当x)2,0(时,02sinx故有：2sin2)21sin(cos211xnkxnk所以级数nxcos的部分和数列当x)2,0(时有界，由狄利克雷判别法得级数nxancos收敛.以上方法是常见的方法，接下来我们来看由比较原则衍生出的几种不常见的方法。1.不等式的利用在此我们常用到的不等式有以下几种：（1）xxln;（2）xx)1ln(;（3）xex1;（4）)(2221baab个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则.例：0k,且12nna收敛,证明knannn21)1(绝对收敛?(此题正是利用了不等式,轻松地证明了此题.)解：)1(22212knaknann又12nna、121nkn收敛,则knann21收敛,故knannn21)1(绝对收敛.例：判别级数1)1ln1(nnnn的敛散性.解：利用不等式xxln有1111ln11ln1nnnnnnnnun因为1)111(nnn收敛,故1)1ln1(nnnn收敛.2.等价量法等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换,方法简单易掌握,同样也是一种放大缩小的应用.例：判别级数11)11(2nnn的敛散性.可利用等价代换,但这里先将原式前项改写为xe的形式.解：当n时，1112nn=112lnnnne12lnnnn231n.而1231nn收敛,故由比较原则知原级数收敛.3.Taylor展开式Taylor展开式看似与级数完全不沾边,但在以前的学习中,Taylor公式还用于计算函数近似值的问题,正是这个桥梁连接了两者.常用函数的Maclaurin公式是在解题中最常用.如下例:例：判别级数1))11((nnne的敛散性.解：))(()1ln(2122111)11(nnnnonnnneeeeneunenone2))]1(211(1[原级数发散4.对数判别法此方法对判别“幂指型”或含“nln”级数很有效.首先介绍一下这个定理：定理（对数判别法）设1nnu为正项级数,若有0，使当0nn时,1ln1lnnun(5)