陕西省2019年中考数学试题研究 类型3 线段最值问题练习

类型3线段最值问题6.问题探究(1)如图①，点M、N在直线l异侧，在直线l上找一点P，使P到M、N两点的距离之和最短；(2)如图②，点M、N在直线l同侧，若MN＝2，点M、N到直线l的距离分别为2和1，在直线l上找一点P，使P到M、N两点的距离之和最短，求最短距离为多少？问题解决(3)聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备在输电农田区l上连接一个分支线路，为M、N两个村落同时输电．如图③所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，村落M到农田AB一侧的距离为2千米，村落N到农田CD一侧的距离为1千米，两村落M、N的连线与农田区l所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，当线路通过农田区时，要求线路与农田区垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的分支线路，并根据所画示意图计算出最短线路．(要求：写出计算过程，结果保留根号)第6题图解：(1)如解图①，连接MN，与直线l相交于点P，点P即为所求；第6题解图①第6题解图②(2)如解图②，连接MN，作点N关于l的对称点N′，连接MN′交l于点P，此时P到M、N两点的距离最短．过点M作MO⊥l于点O，并延长到点C，使OC＝1，过点N作NF⊥MO于点F，连接N′C，根据作图可知四边形NDOF为矩形，即ND＝N′D＝FO＝OC＝1.又∵MO＝2,MN＝2，则MF＝MO－FO＝2－1＝1，MC＝MO＋OC＝3，∴N′C＝FN＝MN2－MF2＝22－12＝3，∴N′M＝MC2＋N′C2＝32＋（3）2＝23；(3)如解图③，过点M作l的垂线，过点N作l的平行线，两条线交于点O，再在MO上找一点P，使得点P与点O关于l对称，连接PN，与农田区CD一侧的交点为点F，过点F作农田区AB一侧的垂线，垂足为E，然后连接MN及ME.第6题解图③根据题意可知在Rt△MON中，∵∠MNO＝45°，∴△MON为等腰直角三角形，故OM＝ON＝3.5千米，结合作图中的对称性，可知PO＝3千米，∴MP＝MO－PO＝3.5－3＝0.5(千米)，又∵EF⊥l，MO⊥l，且MP＝EF,∴四边形MPFE为平行四边形，∴ME＝PF，即ME＋FN＋EF＝PN＋EF，∴线路ME→EF→FN的线路为最短线路．∵在Rt△PON中，PN＝OP2＋ON2＝32＋3.52＝852(千米)，∴ME＋EF＋FN＝PN＋EF＝85＋12(千米)．∴最短线路长为85＋12千米．7.问题探究(1)如图①，点M、N分别是△ABC边AB、AC上任意一点，在BC边上确定一点P，使得PM＋PN的值最小；(2)如图②，点M是边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，点N为CD边的中点，求△DMN周长的最小值；问题解决(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．第7题图解：(1)如解图①，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N交BC于点P，则点P就是所求的点；第7题解图(2)如解图②，连接BD交AC于点O，∵正方形的对角线互相垂直平分，∴点D关于AC的对称点为点B，连接BN，交AC于点M，连接DM，∴DM＋MN＝MB＋MN＝BN.在AC上任取一点M′，连接BM′、DM′、M′N，则DM′＋M′N＝BM′＋M′NBN，∴点M就是所求的点，∵线段DN的长为定值，∴当DM＋MN的值最小时△DMN的周长最小，即周长的最小值为BN＋DN的值．∵正方形ABCD的边长为2，N为DC的中点，∴DN＝1，BN＝22＋12＝5，∴△DMN的周长的最小值为5＋1；(3)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，∴点E坐标为(3，1)．又∵△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可知四边形ADFB是正方形，∴BF＝AB＝OC＝2，CF＝BC－BF＝3－2＝1，∴点F的坐标为(1，2)．如解图③，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、ME、EF，在OC上任取一点N′，在OA上任取一点M′，连接F′N′、N′M′、M′E′、FN′、EM′，则EF＋FN′＋N′M′＋M′E＝EF＋F′N′＋N′M′＋M′E′E′F′，则取M、N点时四边形MNFE的周长最小．第7题解图③∴E′(3，－1)，F′(－1，2)，设直线E′F′的解析式为y＝kx＋b，将点E′、F′的坐标分别代入，得3k＋b＝－1－k＋b＝2，解得k＝－34b＝54，∴直线E′F′的解析式为y＝－34x＋54.当y＝0时，x＝53，故点M的坐标为(53，0)，当x＝0时，y＝54，故点N的坐标为(0，54)．∵点E与E′关于x轴对称，点F与F′关于y轴对称，∴NF＝NF′，ME＝ME′，F′B＝4，E′B＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝BE′2＋BF′2＝32＋42＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝F′E′＝5，在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2＝12＋22＝5，∴FN＋NM＋ME＋EF＝5＋5，∴四边形MNFE周长的最小值是5＋5.