陕西省2019年中考数学解答专项 锐角三角函数的实际应用题库

锐角三角函数的实际应用1.如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73)．第1题图解：∵tan∠OBC＝tan30°＝33OCBC,∴OC＝33BC，∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴3340BC≈0.97,∴BC≈67(cm)．答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67cm.2.某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图②所示，点O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA＝OB＝14cm，CA＝CB＝4cm，∠ACB＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6cm.求点O到直线AB的距离．(结果保留根号)第2题图解：如解图，连接AB、OC，并延长OC交AB于点D，第2题解图∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC垂直平分AB，即AD＝BD，∠CDA＝90°，又∠ACB＝120°，∠ACD＝60°，∴在Rt△ACD中，sin∠ACD＝ADAC，∴AD＝AC·sin60°＝4×32＝23cm，∵在Rt△AOD中，AD＝23cm，AO＝14cm，∴OD＝AO2－AD2＝142－（23）2＝246cm，∴点O到直线AB的距离为246cm.3.如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA＝OD＝81cm，OC＝43cm，∠C＝90°，∠A＝20°.求BC的长和点O到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713)第3题图解：根据题意可知AC＝OA＋OC＝81＋43＝124(cm)，在Rt△ABC中，tanA＝BCAC，∴BC＝AC·tanA≈124×0.3640≈45(cm)，如解图，过点O作OE⊥AB于点E，在Rt△AOE中，sinA＝OEOA，∴OE＝OA·sinA≈81×0.3420≈28(cm)，第3题解图答：BC的长和点O到地面的距离分别约为45cm和28cm.4.为了给人们的出行带来方便，某市准备在部分城区实施公共自行车免费服务，如图①是公共自行车的实物图，如图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，点F在AM上，FD⊥AC于点D，AF＝30cm，DF＝24cm，CD＝35cm，∠EAB＝71°.若∠B＝49°，求AB的长．(结果保留整数，参考数据：sin71°≈0.9，cos71°≈0.3，tan71°≈2.9，sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2，3≈1.7)第4题图解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，第4题解图∵∠CAB＝71°，∠B＝49°，∴∠ACB＝60°，∵FD⊥AC，AF＝30cm，DF＝24cm，∴AD＝18cm.在Rt△AGC中，sin∠ACG＝AGAC，cos∠ACG＝CGAC，∴sin60°＝AG18＋35，∴AG＝53×32＝5332cm.在Rt△ABG中，AB＝AGsin49°≈53320.8≈56cm，答：AB的长约为56cm.5.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1cm.参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850)第5题图解：在Rt△CAE中，AE＝CEtan∠CAE＝155tan82.4°≈1557.500≈20.7，在Rt△DBF中，BF＝DFtan∠DBF＝234tan80.3°≈2345.850＝40，∴EF＝AE＋AB＋BF≈20.7＋90＋40＝150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形，∴CH＝EF≈151.即高、低杠间的水平距离CH的长约为151cm.6.图①是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)，将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图②，求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，2≈1.4)第6题图解：如解图，连接BC，过点B作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，在Rt△ABE中，∵AB＝12AD＝1米，∠A＝37°，∴BE＝AB·sin37°≈0.6米，AE＝AB·cos37°≈0.8米，第6题解图在Rt△CDF中，CD＝12AD＝1米，∠D＝45°，∴CF＝AB·sin45°＝22≈0.7米，DF＝CD·cos45°≈0.7米，∴EG＝CF≈0.7米，GC＝EF＝AD－AE－DF≈2－0.8－0.7＝0.5米，∴BC＝BG2＋CG2＝（0.6＋0.7）2＋0.52≈1.4米．答：B、C之间的距离约为1.4米．7.西成高铁自2017年12月6日正式开通运营，标志着华北地区至西南地区又增加一条大能力、高密度的旅客运输主通道．如图，西成高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离AO＝75cm，展开小桌板使桌面保持水平时，有CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC(结果精确到1cm)．(参考数据sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)第7题图解：如解图，延长CB交OA于点E，延长OB交AC于点F.设BC＝x，则OB＝OA－BC＝75－x，第7题解图∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB＋∠OBE＝90°，∴∠ACB＋∠CBF＝90°，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，∵sin37°＝BFBC，∴BF＝BC·sin37°＝sin37°·x，在Rt△OAF中，cos37°＝OFAO，即cos37°＝75－x＋sin37°·x75，∴x＝75（1－cos37°）1－sin37°≈75×（1－45）1－35＝37.5≈38(cm)，∴小桌板桌面的宽度BC约为38cm.8.为促进农业发展，加快农村建设，某地政府计划扶持兴建一批新型钢管装配式大棚，如图①.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC的长是多少米．(精确到0.1米)(参考数据：32≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28)图①图②第8题图解：如解图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F，第8题解图∵∠BAC＝150°，∴在Rt△ACE中，∠EAC＝30°，设EC＝x，则AE＝3x，AC＝2x，∵EC⊥AB，BD⊥AB，CF⊥BD，∴四边形ECFB是矩形，∴CF＝AB＋AE＝2＋3x(米)，在Rt△ABD中，AB＝2，∠ADB＝9°，∴BD＝ABtan9°≈20.16＝252(米)，∴DF＝BD－CE＝12.5－x(米)，在Rt△CDF中，CF＝2＋3x(米)，DF＝12.5－x(米)，∴tan∠CDF＝CFDF＝2＋3x12.5－x≈0.28，解得x＝0.75米，∴AC＝2x＝1.5米．答：保温板AC的长约为1.5米．9.某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于56°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm，支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求支架最高点A到地面的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，2≈1.41)第9题图解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，延长AC交MN于点H，则AH⊥MN,第9题解图在Rt△DCG中，根据sin∠GCD＝DGDC，得DG＝CD·sin∠GCD＝30×sin56°≈30×0.83＝24.9(cm)，在Rt△BDG中，根据sin∠GBD＝DGBD，得BD＝DGsin∠GBD＝24.922≈24.91.412≈35.3(cm)．∵D为BE的中点，∴BE＝2BD＝70.6cm，在Rt△BHE中，根据cos∠HBE＝BHBE，得BH＝BE·cos∠HBE＝70.6×22≈70.6×1.412≈49.8(cm)，∴AH＝AB＋BH＝40＋49.8＝89.8(cm)．答：支架最高点A到地面的距离约为89.8cm.10.某款折叠床其配套的折叠床板的实物图如图①所示，图②为其抽象的几何图形．将床板折叠到如图②所示位置，点A、B、C在同一条直线上，AG＝BG＝BD＝CD，CD∥BG，BD∥AG，∠DCB＝70°，BC＝0.34米，四边形CDEF为矩形．(1)求床板完全展开后的总长度；(2)若∠DCB＝80°时，该床板折叠后具有最好的稳定性，当折叠该床板使其最稳定时，顶点D在垂直方向上有何变化，请说明理由．(结果精确到0.01米，参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75，sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.67)第10题图解：(1)如解图，过点D作DH⊥BC于点H，由题意可知，△BCD为等腰三角形，∠DCB＝70°，BC＝0.34米，第10题解图∴CH＝BC2＝0.17米，DC＝HCcos70°≈0.170.34＝0.50米，∴床板完全展开后的总长度约为0.50×4＝2.00米；(2)顶点D会在垂直方向上升约0.02米．理由；当∠DCB＝70°时，DH＝0.5×sin70°≈0.47米，当∠DCB＝80°时，DH＝0.5×sin80°≈0.49米，∴0.49－0.47＝0.02米，∴当折叠该床板使其最稳定时，顶点D会在垂直方向上升约0.02米．