陕西省2019年中考数学解答专项 二次函数与图形面积练习

二次函数与图形面积1.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)、B(1，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，求m、n的值．解：(1)将点A(4，0)、B(1，3)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c得310416cbcb，解得04cb，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x；(2)对称轴为直线x＝－b2a＝－124＝2，顶点坐标为(2，4)；(3)抛物线的对称轴为直线x＝2，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，则点P关于直线l的对称点为E(4－m，n)，点E关于x轴的对称点为F(4－m，－n)，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，则S四边形OPAF＝S△AOF＋S△AOP＝12×4×(－n)＋12×4×(－n)＝－4n＝20，得n＝－5，将(m，－5)代入y＝－x2＋4x，解得m＝5或m＝－1.∵点P(m，n)在第四象限，∴m＝5，n＝－5.2.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O、B(1，3)、C(2，2)，与x轴交于另一点N.(1)求抛物线的表达式；(2)连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，在抛物线上是否存在点P，使得S△OAP＝815S△ONP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，可得02243ccbacba，解得052cba，∴所求抛物线的表达式为y＝－2x2＋5x；(2)存在，设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，将点B、C的坐标代入可得bkbk223，解得41bk，则y＝－x＋4.把x＝0代入y＝－x＋4得y＝4，∴点A(0，4)，把y＝0代入y＝－2x2＋5x得x＝0或x＝52，∴点N(52，0)，设点P的坐标为(x，y)，S△OAP＝12OA·x＝2x，S△ONP＝12ON·y＝12×52·(－2x2＋5x)＝54(－2x2＋5x)，由S△OAP＝815S△ONP，即2x＝815·54(－2x2＋5x)解得x＝0(舍去)或x＝1，当x＝1时，y＝3，∴存在点P，其坐标为(1，3)．