陕西省2019届高三数学第三次联考试题 理（含解析）

陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.【详解】，，则.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，结合条件得正切，代入求解即可.【详解】由已知得，.故应选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.4.已知向量，，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A.B.C.1D.3【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可得，进而得，从而得中点横坐标，进而得解.【详解】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得，进而得，结合角A的范围可得解.【详解】∵，，∴，可得，可得，∴可得，∵，可得：，∴，解得：故应选A.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A.30B.29C.90D.54【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件，退出循环，即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为54.故应选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，∴，∴.故应选A.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题.9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.【详解】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）；设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.10.函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A，当时，，排除D，当时，，排除C，故选B.考点：函数的图象.11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由和双曲线相交得弦长为，得方程，化简可得和，从而可得，进而可得渐近线方程.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A.3B.5C.7D.9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数.【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在x=0时有定义必有，奇函数是周期为4的周期函数，必有是解本题的关键，属于易错题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】14【解析】【分析】作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】【解析】【分析】通过函数图象平移得到为偶函数，进而由，，即可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位得到的图像，其图像关于轴对称，所以有，，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份201320142015201620172018年份代码123456年产量（万件）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7.56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC,∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90°,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存在时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”