山西省忻州实验中学2018-2019学年高一数学下学期第一次月考试题

山西省忻州实验中学2018-2019学年高一数学下学期第一次月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、600sin的值是（）A．23B．23C．21D．212．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.3D．23．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－14．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos3π2－α＋2sin(6π－α)的值为()A．－23mB．－32mC.23mD.32m5.已知21tan，则22cossincossin2的值是()A．34B．3C．34D．36.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值等于()A．－1B．1C.3D．－37.已知函数20,0)sin()(，（AxAxf）在一个周期内的图象如图所示．若方程mxf)(在区间],0[上有两个不同的实数解21,xx，则21xx的值为（）A．3B．32C．34D．3或348．下列关系式中正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°9.函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()10．下列关于函数y＝)3tan(x的说法正确的是()A．在区间65,6单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点0,4成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称11．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．912．已知函数211()sinsin(0)222xfxx，Rx．若)(xf在区间)2,(内没有零点，则的取值范围是A．]81,0(B．)1,85[]41,0(C．]85,0(D．]85,41[]81,0(第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）13．写出终边在右图所示阴影部分内的角的集合________．．14．函数y＝)62sin(x的单调递增区间是________．15．关于函数f(x)＝4sin(2x＋3)(x∈R)的说法如下：①y＝f(x)的解析式可改写为y＝4)62cos(x；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)的图象关于点－π6，0对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中，正确的说法的序号是________．16.已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ＝________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．18.(1)化简：1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°.(2)已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求°－α＋α－＋α＋α的值．(3)求证：.2sin223sin2sincos2cos123sincos)cos(19.已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间4,3上是增函数，求ω的取值范围．20.设函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx.(1)求125f；(2)若f(α)＝53，α∈,2，求角α.21.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R20,0,0A的周期为π，且图象上一个最低点为M2,32.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈12,0时，求f(x)的最值．22.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．忻州实验中学2018－2019学年度高一第二学期第一次月考数学参考答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ACBBCDDCDBCD二、填空题：13.{α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}14.）zkkk(65,315.①③16.12三、解答题：17.已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．解：由y＝x，x2＋y2＝1，得x1＝22，y1＝22，或x2＝－22，y2＝－22.∵点A在x轴上方，∴点A，B的坐标分别为22，22，－22，－22.(1)sinα＝22，cosα＝22.(2)tanβ＝－22－22＝1.18.(1)化简：1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°.(2)已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan(435°－α)＋sin(α－165°)cos(195°＋α)·sin(105°＋α)的值．(3)求证：.2sin223sin2sincos2cos123sincos)cos(①解：原式＝1＋2sin(360°－80°)·cos(360°＋80°)sin(180°＋80°)＋cos(720°＋80°)＝1－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin280°＋cos280°－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝(sin80°－cos80°)2－sin80°＋cos80°＝|cos80°－sin80°|cos80°－sin80°＝sin80°－cos80°cos80°－sin80°＝－1.②解：原式＝tan(360°＋75°－α)－sin(α＋15°)cos(180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]＝tan(75°－α)－sin(α＋15°)－cos(15°＋α)·[－sin(α－75°)]＝sin(75°－α)cos(75°－α)[－cos(15°＋α)sin(75°－α)]－sin(α＋15°)－cos(15°＋α)sin(75°－α)＝－1cos(15°＋α)·sin(15°＋α)＋sin(α＋15°)cos(15°＋α)·cos(15°＋α).∵α为锐角，即0°α90°，∴15°α＋15°105°，又cos(15°＋α)＝35，∴sin(15°＋α)＝45，∴原式＝－135×45＋4535×35＝536.③证明：左边＝－cosθcosθ(－cosθ－1)＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ(1＋cosθ)(1－cosθ)＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．19.已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间4,3上是增函数，求ω的取值范围．解：由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2(k∈Z)得－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间是－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．据题意：－π3，π4⊆－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．从而有－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω0，解得0ω≤32.故ω的取值范围是0，3220.设函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx.(1)求125f；(2)若f(α)＝53，α∈,2，求角α.解：f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx＝53cos2x＋53sin2x－2sin2x－43sin2x＝53－2sin2x－23(1－cos2x)＝33－2sin2x＋23cos2x＝33－4sin2x×12－cos2x×32＝33－4sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝33－4sin2x－π3，(1)f5π12＝33－4sin5π6－π3＝33－4sinπ2＝33－4.(2)由f(α)＝53，得sin2α－π3＝－32，由α∈π2，π，得2α－π3∈2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.21.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R20,0,0A的周期为π，且图象上一个最低点为M2,32.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈12,0时，求f(x)的最值．[解](1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M2π3，－2，得A＝2.由周期T＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上，得2sin4π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又因为φ∈0，π2，所以k＝1，φ＝π6.所以函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈0，π12，所以2x＋π6∈π6，π3，所以当2x＋π6＝π6，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，函数f(x)取得最大值3.22.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．[解](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝2πT＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意知，当y1时才对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋11，∴cosπ6t0，∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，即12k－3t12k＋3.∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t3或9t15或21t≤24，∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间