山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题 文

山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题文时间:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、已知集合,,则()A.B.C.D.2、设复数满足,在复平面内对应的点为,则()A.B.C.D.3、已知命题,；命题,。若为真命题,则实数的取值范围是()A.B.C.D.4、已知函数,若,则实数的值等于()A.B.C.D.5、函数的图象大致为()A.B.C.D.6、已知是定义域为的奇函数,且,当时,,则()A.B.C.D.7、已知,在的值为()A.B.C.D.8、在中,,,分别是角,,的对边,若,,,则的面积为()A.B.C.D.9、在直三棱柱中,,且,点是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.10、过点的圆交轴于两点,则=（）A.B.C.D.11、双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则的离心率为()A.B.C.D.12、已知定义在上的函数,若函数恰有个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知函数,则的值为__________.14、在中,,,若,点为线段的中点,则的值为__________.15、已知平面,,,,,则三棱锥的外接球的体积为__________.16、某校早上上课，假设该校学生小张与小王在早上之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早分钟到校的概率为_________（用数字作答）三、解答题(每小题12分,共5小题60分)17、已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：．18、电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了名观众进行调查,其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有名女性.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(2)将日均收看该体育项目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有名女性,若从“超级体育迷”中任意选取人,求至少有名女性观众的概率.附:参考公式:.19、如图直四棱柱的底面是菱形,,,分别是的中点.(1)证明:平面(2)求点到平面的距离.20、如图，椭圆E：的离心率是，点在短轴CD上，且.(1)求椭圆E的方程．(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21、已知函数,是的导数.(1)证明:在区间存在唯一零点;(2)若时,,求的取值范围.四、本题共2道小题,每小题10.0分，选择其中1题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（A）、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．22（B）、已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.同煤二中联盟体高三模拟数学文科试题答案解析第1题答案D第1题解析,,则.第2题答案C第2题解析∵复数在复平面内对应的点为,∴∴∴第3题答案C第3题解析命题,,是真命题时,可得;命题,,是真命题时,,解得.若为真命题,则两个命题都是真命题,可得.第4题答案C第4题解析∴,当时,,∴,当时,,∴(舍弃).第5题答案A第5题解析依题意,,,故函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C,而,,故,排除B、D.第6题答案C第6题解析由得,又因为函数为奇函数,所以.第7题答案C第7题解析由条件整理得:,即,则,∴.故选C.第8题答案D第8题解析在中,,将,代入上式得,解得:,由得,所以,.第9题答案B第9题解析设,则,连接,则(或其补角)即为异面直线与所成角,易求得,,所以.故选B.第10题答案C第10题解析设过三点的圆的方程为则解得,所求圆的方程为,令得,设,则,所以,故选.第11题答案D第11题解析根据题意可知,所以,离心率.第12题答案B第12题解析如图,数形结合,观察直线与曲线的位置关系.当,,,,故在处的切线方程为.当,,同理可得在处的切线方程为.当,,,设切点为,其中,则过该点的切线方程为,代入,得,故过的切线方程为.可得当时,有两个交点,即函数恰有两个零点.第13题答案第13题解析因为,所以,故.第14题答案第14题解析如图,以为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系,则,,,∵,∴,又点为线段的中点,∴,即,,,∴,故答案为.第15题答案第15题解析在中,由余弦定理知,,故,由正弦定理知,若的外接圆半径为,则,即,取的中点,球心为,则为直角三角形,,则,三棱锥的外接球的半径为,有,得,即,故三棱锥的外接球的体积为.第16题答案第16题解析设小张到校的时刻为，小王到校的时刻为，则两位同学到校的时刻构成一个平面区域，由不等式组，原点表示，其平面区域如图所示．又小张比小王至少早分钟须满足，由图易知，所求概率．第17题答案（1）（2）见解析第17题解析（1）当时，有，解得.……………………………………………1分当时，有，则，………………………………………3分整理得：，…………………………………………………………………………………………………4分∴数列是以为公比，以为首项的等比数列．∴，即数列的通项公式为：．………………………………………………………5分（2）由（1）有，………………………………………………………6分则，………………………………9分∴.故得证.……………………………………………………………………………………12分第18题答案见解析.第18题解析(1)由频率分布直方图可知,在抽取的人中,“体育迷”有人,…………………………………1分从而列联表如下:…………………………………………2分将列联表中的数据代入公式计算,得.………………………………………………4分因为,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.………………………………………5分(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为人,…………………………………………………………6分从而一切可能结果所组成的基本事件空间为:.其中表示男性,,表示女性,.……………………………………………………7分由个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的,………………………………………8分用表示“任选人中,至少有人是女性”这一事件,则.………………………10分事件由个基本事件组成,因而.………………………………………………………………12分第19题答案见解析第19题解析(1)连结相交于点,再过点作交于点,再连结,.分别是的中点.于是可得到,,于是得到平面平面,由平面,于是得到平面…………………………………………4分(2)为中点,为菱形且,又为直四棱柱,,又,,设点到平面的距离为由得解得所以点到平面的距离为…………………………………………………………12分第20题答案(1)；(2)存在常数，使得为定值－3.第20题解析(1)由已知，点C，D的坐标分别为．又点的坐标为，且，于是……………………2分解得，……………………………………………………………………………………………5分所以椭圆E的方程为.…………………………………………………………………………6分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，A，B的坐标分别为．联立得.…………………………………………7分其判别式，所以，.从而.…………………………………………………………………………8分所以，当时，.此时，为定值．…………………………………………9分当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，.………………………………11分故存在常数，使得为定值－3.…………………………………12分第21题答案略第21题解析(1)由题意得,……………1分令,∴,………………………………………………2分当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴的最大值为,……………………………………………………………………3分又,,∴,……………………………………………………4分即,∴在区间存在唯一零点.……………………………………………………………………5分(2)由题设知，，可得.…………………………………………6分由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，………………………………………………9分又，，所以，当时，，………………………10分又当，时，，故.………………………………………11分因此，的取值范围是.…………………………………………………………………………12分第22题（A）答案（1）；（2）.第22（A）题解析（1）设，则，………………………………1分………………………………………………………………………………………………2分解得，……………………………………………………………………………………………4分化为直角坐标系方程为………………………………………………5分（2）连接，易知为正三角形．为定值．∴当高最大时，面积最大，…………………………………………………………………………6分如图，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大…………………………………………………………………………………………………8分.………………………10分第22题（B）答案见解答;第22题（B）解析(1)当时,………………………………………………………2分或或………………………………4分或.……………………………………………………………………………………………………5分(2)由题意可得在上恒成立,……………………………………………………………6分在上恒成立,…………………………………………………………………7分在上恒成立,………………………………………………………………………9分.…………………………………………………………………………………………………………10分