山西省太原市实验中学2019-2020学年高二数学12月月考试题 文

山西省太原市实验中学2019-2020学年高二数学12月月考试题文一．选择题（每题4分，共10小题）1．命题“∃x0∈R，”的否定形式是（）A．∃x0∈R，B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2＝1D．∀x∈R，x2≠12．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题3．已知直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．4．“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．椭圆＝1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21B．21C．﹣或21D．或216．设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（）A．∃n∈N，n2≤2nB．∀n∈N，n2＞2nC．∃n∈N，n2＞2nD．∃n∈N，n2＝2n7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．408．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧qB．￢p∧qC．￢p∨qD．p∧（￢q）9．“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件10．有下列四个命题：①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④二．填空题（每题3分，共4小题）11．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为．12．直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行的充要条件是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为．三．解答题（共5小题）15．（8分）已知p:0a,q:直线1:210lxay与直线2:2210lxay平行,求证:p是q的充要条件.16．（8分）已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15＝0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．17．（8分）设命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝3且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（10分）已知椭圆经过两点（0，1），．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积S．19．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．文数参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．命题“∃x0∈R，”的否定形式是（）A．∃x0∈R，B．∃x0∈R，C．∀x∈R，x2＝1D．∀x∈R，x2≠1【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，”的否定形式是：∀x∈R，x2≠1．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题【分析】¬（p或q）为假命题既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假，是基础题．3．已知直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出直线与x，y轴的交点，得到椭圆的焦点和顶点，然后求解椭圆的离心率．【解答】解：直线x﹣y﹣＝0经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点和顶点，可得椭圆的一个焦点坐标（，0），一个顶点坐标（0，﹣1），所以c＝，b＝1，则a＝，所以e＝＝．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先求“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m∈（2，4）∪（4，6）”，再由集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6）的包含关系得解．【解答】解：“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m∈（2，4）∪（4，6），设集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6），因为A⊊B，所以“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题．5．椭圆＝1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21B．21C．﹣或21D．或21【分析】依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值．【解答】解：若a2＝9，b2＝4+k，则c＝，由＝，即＝得k＝﹣；若a2＝4+k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题．6．设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为（）A．∃n∈N，n2≤2nB．∀n∈N，n2＞2nC．∃n∈N，n2＞2nD．∃n∈N，n2＝2n【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P为：∃n∈N，n2＞2n．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．40【分析】△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．【解答】解：∵F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，∴△AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．8．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧qB．￢p∧qC．￢p∨qD．p∧（￢q）【分析】由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．【解答】解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1，则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题，￢q为真命题．则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：pqp∧qp∨q￢p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真9．“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】椭圆+y2＝1离心率为，可得：m＞1时，＝，或0＜m＜1时，＝，解得m即可判断出结论．【解答】解：椭圆+y2＝1离心率为，可得：m＞1时，＝，或0＜m＜1时，＝，解得m＝2或．∴“m＝2”是“椭圆+y2＝1离心率为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．有下列四个命题：①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y＝0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q＝0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q＝0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q＝0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．二．填空题（共4小题）11．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，则△PF1F2的面积为．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|的值，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆+y2＝1，得a＝2，b＝1，则2a＝4，，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，由余弦定理可得：，∴，即．∴△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|sin60°＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，12．直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行的充要条件是1．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，∴，解得a＝1，13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2＝1与直线y＝kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，则d＝≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．14．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为40π．【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．【解答】解：∵平面α截球O的球面所得圆的面积为π，则圆的半径为1，该平面与球心的距离d＝3，∴球半径R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝40π．故答案为：40π．【点评】本题考查球的表面积的求法，着重考查了