山西省山西大学附中2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理

山西省山西大学附中2019-2020学年高二数学上学期期中试题理考试时间：90分钟满分：100分一．选择题：(本题有12个小题，每小题3分，共36分)1．直线310xy的倾斜角大小是（）A．6B．56C．23D．32．如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4OA,2OC，30AOC,则下列叙述正确的是()A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形的面积是82D．原图形的面积是833.已知0ab，0bc，则直线0axbyc不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若//l，//l，则//B．若l，l，则//C．若l，//l，则//D．若，//l，则l5．点3,2A，3,2B，直线10axy与线段AB相交，则实数a的取值范围是()A．1a或1aB．11aC．4132aD．43a或12a6．如图，在四面体ABCD中，点PQMN、、、分别是棱ABBCCDAD、、、的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的为()A.ACCDB.//AC截面PQMNC.ACBDD.异面直线PM与BD所成的角为45°7．已知点1,2A，1,4B，若直线l过原点，且A、B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A．yx或12yxB．yx或0yC．yx或4yxD．yx或0x8．在直三棱柱111ABCABC中，2ABACBC，11AA，则点A到平面1ABC的距离为()A．34B．32C．334D．39．用一块圆心角为43、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）A．34581RB．34527RC．3327RD．34327R10．当点(3,2)P到直线120mxym的距离最大时，m的值为（）A.3B.0C.1D.111．如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中,P为11DA的中点,Q为11BA上任意一点,FE、为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥QEFP的体积D．二面角QEFP的大小12．在棱长为6的正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别是棱1111,CDBC的中点，过,,AEF三点作该正方体的截面，则截面多边形的周长为（）A.1032410B.1832C.6592D.61332二．填空题：(本题有5个小题，每小题4分，共20分)13．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为.14.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为．15.平行六面体1111ABCDABCD中，棱1ABADAA、、的长均为1，11===3AADAABDAB，则对角线1AC的长为________.16．若点,Mmn为直线:3420lxy上的动点，则22mn的最小值__．17．如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，MN、分别是棱1ABCC、的中点，C1D1B1A1CDABEFQP1MBP的顶点P在棱1CC与棱11CD上运动，有以下四个命题：①平面11MBPND；②平面111MBPNDA；③1MBP在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④1MBP在侧面11DDCC上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是___________三．解答题：（本题有4个小题，共44分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）18．（本小题满分10分）己知直线210xy与直线2+10xy交于点P．（1）求过点P且平行于直线34150xy的直线1l的方程；（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线2l方程.（注:结果都写成直线方程的一般式）19.（本小题满分10分）如图，在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，斜边错误!未找到引用源。．错误!未找到引用源。可以通过错误!未找到引用源。以直线错误!未找到引用源。为轴旋转得到，且二面角错误!未找到引用源。是直二面角．动点错误!未找到引用源。在斜边错误!未找到引用源。上．（1）求证：平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。；（2）求错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的最大角的正切值．20．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，2BE，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．错误！未找到引用源。错误!未找到引用源错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。（1）求证：//DE平面ABC；（2）求二面角ABCE的余弦值．21．（本小题满分12分）如图1，四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC平面PBD；（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．山大附中2019～2020学年第一学期期中考试高二年级数学试题(理)评分细则考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（3×12=36分）123456789101112DCCBAADBACBD二、填空题（4×5=20分）13.36014.32815.616.42517.②③三.解答题（满分44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18.（本小题满分10分）己知直线210xy与直线2+10xy交于点P．（1）求过点P且平行于直线34150xy的直线1l的方程；（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线2l方程.（注:结果都写成直线方程的一般式）18.解：联立2102+10xyxy，解得11xy，得点(1,1)P．……………1分（1）设平行于直线34150xy的直线1l的方程为34+0xym，把(1,1)P代入可得：34+0m，解得7m．……………3分∴过点P且平行于直线34150xy的直线1l的方程为3470xy．……………4分（2）当直线2l经过原点时，可得方程为：yx．……………6分当直线2l不过原点时，可设方程为：+,xya把(1,1)P代入可得11,a+=可得2.a……………8分∴直线2l的方程为+2.xy……………9分综上可得：直线2l的方程为+20xy或0.xy……………10分19．（本小题满分10分）如图，在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，斜边错误!未找到引用源。．错误!未找到引用源。可以通过错误!未找到引用源。以直线错误!未找到引用源。为轴旋转得到，且二面角错误!未找到引用源。是直二面角．动点错误!未找到引用源。在斜边错误!未找到引用源。上．（1）求证：平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。；（2）求错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的最大角的正切值．19.解：（1）证明：由题意，,COAO,BOAO∴BOC是二面角BAOC的平面角，……………1分又二面角BAOC是直二面角，∴COBO，……………2分又∵BOAOO，∴CO平面AOB。……………4分（2）解：由（1）知，CO平面AOB，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。∴CDO是CD与平面AOB所成的角，……………5分且2tanOCCDOODOD，……………6分当OD最小时，CDO最大，……………7分这时，ODAB，垂足为D，3.OAOBODAB……………9分23tan3CDO∴CD与平面AOB所成的角最时的正切值为.……………10分20.（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，2BE，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．（1）求证：//DE平面ABC；（2）求二面角ABCE的余弦值．20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接DOBO,，则ACBO，ACDO，……………………2分又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么DOEF//，根据题意，点F落在BO上，∴60EBF，易求得3DOEF，…………4分∴四边形DEFO是平行四边形，∴OFDE//，∴//DE平面ABC…………6分（2）解法一：作BCFG，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴BCEF，又FFGEF，∴BC平面EFG，∴BCEG，∴EGF就是二面角ABCE的平面角．…………9分EFGRt中，2130sinFBFG，3EF，213EG．∴1313cosEGFGEGF．即二面角ABCE的余弦值为1313.………12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyzO，可知平面ABC的一个法向量为)1,0,0(1n………………7分设平面BCE的一个法向量为),,(2zyxn则，0022BEnBCn可求得)1,3,3(2n．………………9分所以1313||||,cos212121nnnnnn，………………11分又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角ABCE的余弦值为1313．………………12分21．（本小题满分12分）如图1，四棱锥ABCDP中，PD底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC平面PBD；（2）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．21.解：（1）证明：由俯视图可得，222BDBCCD，所以BDBC．…………2分又因为PD平面ABCD，所以PDBC，…………3分BDPD所以BC平面PBD．…………4分（2）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为43．证明如下：因为PD平面ABCD，DCDA，所以DADCDP、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．…………5分所以)3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(MCBAD．设)0,,0(tN，其中40t．…………6分所以)3,0,3(AM，)0,1,3(tBN．…………7分要使AM与BN所成角的余弦值为43，则有||34||||AMBNAMBN，…………9分所以43)1(332|3|2t，解得0t或2，…………11分均适合40t．故点N位于D点处，此时4CN；或CD中点处，此时2CN，有AM与BN所成角的余弦值为43．…………12分