山东省淄博实验中学高三数学第二学期4月份教学诊断考试试题 文

山东省淄博实验中学高三数学第二学期4月份教学诊断考试试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A.B.C.D.2.已知集合,若，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.3.如图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A.A1000和n=n+1B.A1000和n=n+2C.A1000和n=n+1D.A1000和n=n+24.已知函数，若，则a为（）A.1B.C.D.5．函数（且）的图象可能为（）6．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）（第6题图）（第11题图）A.B.C.D.7.直线与y轴的交点为P,点P把圆的直径分为两段，则较长的一段与较短的一段的比值等于()A.2B.3C.4D.58．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量=(a＋c，a－b)，=(b，a－c)，若，则∠C=()A．B．C．D．9.已知数列的前项和为，，，则（）A.128B.256C.512D.102410.已知锐角满足，则（）A.B.C.D.11.已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，若右支上有点M满足，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12.已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）A．B．C.D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知则当a的值为时,取得最大值.14.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_______.15.已知平面，直线.给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．16．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额（万元）4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长（万元）6.07.07.48.18.99.611.1（I）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）（II）现从2012—2018年这7年中抽取2年进行调查，记=年利润增长－投资金额，求这两年都是2（万元）的概率。参考公式：回归方程中，18.（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（I）求角C；（II）若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，，AB=a，，，平面ABCD平面PAB，，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点.（I）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE//l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（II）过A、C、E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC，求剩余几何体AECBP的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个动点。当为的上顶点时，的面积为。（I）求的方程；（II）设斜率存在的直线与的另一个交点为。若存在点，使得，求的取值范围。21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx（I）若函数F(x)=tf(x)与函数g(x)=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（II）证明：；（III）若不等式mf(x)≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（I）求C的普通方程和l的倾斜角；（II）设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】函数，其中，若的解集为．（I）求a的值；（II）求证：对任意，存在，使得不等式成立．高三年级第二学期第一次诊断考试数学文试题答案2019.41.【答案】D【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D2.【答案】B【解析】对集合A，由得：或.对集合B，由得：.又，所以（舍去）或.故选：B3.【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A1000，故填A1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n=n+2，故选D.4.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.5．【答案】D6．【答案】B【解析】结合三视图，还原直观图，是一个棱长为2的正方体挖去一个半圆柱得到的，故，故选B。7.【答案】A【解析】令代入可得，圆心坐标为，则与圆心的距离为，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。故答案为A.8．【答案】B【解答】∵向量，，若，则，即，即，∴由余弦定理得∵,∴.故选：B.9.【答案】B【解析】当n=1时，S2＝2S1－1，得a1＋a2＝2a1－1，a2＝a1－1=1，当n≥2时，由Sn+1＝2Sn－1，得Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.因此an＝1·2n－2＝2n－2(n≥2，n∈N*)所以a10＝210－2＝28=256.10.【答案】C【解析】因为锐角满足，所以也是锐角，由三角函数的基本关系式可得，则，故选C.11.【答案】A【解析】设，，由题可得：,在中，由余弦定理可得：，整理得：.在中，由余弦定理可得：，整理得：.由双曲线定义得：，即：.整理得：.故选:A12.【答案】C【解析】由得，所以数列{}是等差数列，公差是1，首项是。所以，则。当且仅当时，，a6=0，其它的。又已知，，则的最小值为，也等于，所以故选C。13.【答案】4【解析】14.【答案】15.【答案】③④【解析】对于①，若，，则或相交，所以该命题是假命题；对于②，若，，则可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题.故答案为：③④16．【答案】917.解:（Ⅰ），，，-----------2分那么回归直线方程为：…………4分将代入方程得即估计该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.…………6分（Ⅱ）由题意可知，年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6…………7分设2012年--2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果，…………………………………………………………………………9分选取的两年都是万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，………11分所以选取的两年都是万元的概率.---------------------------------------------------------------12分18.【解析】（1）由平方关系可得：再由正弦定理可化为，整理得到，即.又由余弦定理，得.因为，所以.-----------------------------------------6分（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.在中，由余弦定理，得，解得.-----------------------------------------12分19.【解析】（1）过点存在直线l使OE//l，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线l，所以有OE//l；若点不在直线上，在平面内，过点作直线l，使，又，所以OE//l，即过点存在直线l使OE//l.-----------------------------------------4分（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.又，所以平面，OE是三棱锥E-ACD的高。所以，所以几何体的体积.-----------------------------------------12分20.解：（1）设椭圆的半焦距为c。因为，所以，，………………1分又，………………2分所以.………………3分所以C得方程为………………4分（2）设直线PQ的方程为，PQ的中点为.当k=0时，直线成为x轴，原点O(0,0)符合题意，即t=0符合题意.………………5分当k≠0时，由得………………6分则………………7分所以即………………8分因为，所以TN⊥PQ,则KTN·k=－1，………………9分所以………………10分因为，所以.………………11分综上，t的取值范围为.………………12分21．【解析】（Ⅰ）g′(x)=2x，F(x)=tf(x)=tlnx，F′(x)=tf′(x)=，∵F(x)=tf(x)与函数g(x)=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′(1)=g′(1)，即t=2，-------------2分（Ⅱ）令h(x)=f(x)﹣x，则h′(x)=，则h(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h(x)的最大值为h(1)=－1，∴|h(x)|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，最小值是1。设G(x)=，G′(x)=，故G(x)在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G(x)max=，∴；-------------------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅲ）不等式mf(x)≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H(m)=mlnx﹣x，，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H(m)取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．----------------------------------------------------------------------------------------------12分22.【解析】(1)由消去参数α，得，即C的普通方程为.……………2分由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)……………3分将代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为.……………4分(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，……………5分即(t为参数)，代入并化简，得5t2＋18t＋27＝0，……………6分Δ＝(18)2－4×5×27＝1080，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－0，t1t2＝0，所以t10，t2