2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论练习 新人教B版必修第

11.2平面的基本事实与推论课后篇巩固提升基础巩固1.空间中,可以确定一个平面的条件是()A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点答案C2.如图所示,下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α解析观察图知:P∉l,P∈α,l⊂α,则l∈α是错误的.答案A3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为()A.平面α和平面β只能重合B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线D.以上都不对解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.答案C4.(多选题)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题不正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3,l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错;对于B,∵l1⊥l2,∴l1,l2所成的角是90°,又∵l2∥l3,∴l1,l3所成的角是90°,∴l1⊥l3,B对;对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选ACD.答案ACD5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.答案D6.下图中正确表示两个相交平面的是()解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.答案D7.如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C∉l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.答案C8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β=.解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l⊂β,所以C∈β,所以AB∩β=C.答案C9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是.解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.答案610.下列命题中,不正确的是(填序号).①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;②三条两两垂直的直线共面;③两两相交直线上的三个点确定一个平面;④每两条都相交但不共点的四线共面.解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.答案②③11.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:(1)点C与平面β:.(2)点A与平面α:.(3)直线AB与平面α:.(4)直线CD与平面α:.(5)平面α与平面β:.答案(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α=B(4)CD⊂α(5)α∩β=BD12.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.证明∵AB∥CD,∴AB,CD共面,设为平面β,∴AC在平面β内,即E在平面β内.而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.能力提升1.下列命题正确的是()A.两个平面如果有公共点,那么一定相交B.两个平面的公共点一定共线C.两个平面有3个公共点一定重合D.过空间任意三点,一定有一个平面解析如果两个平面重合,则排除A、B;两个平面相交,则有一条交线,交线上任取3个点都是两个平面的公共点,故排除C;而D中的三点不论共线还是不共线,则一定能找到一个平面过这3个点.故选D.答案D2.下列四个命题:(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;(4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析(1)错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;(2)错,两条异面直线不能确定一个平面;(3)对;(4)错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.答案A3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是()A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂αB.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=ABC.若l⊄α,A∈l,则A∉αD.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,由平面的基本事实2,可得A正确;由平面的基本事实2,知AB⊂α,AB⊂β,即α∩β=AB,可得B正确;若l⊄α,A∈l,则A∈α或A∉α,可得C不正确;若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.答案ABD4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⊂α②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈bA.①②B.②③C.①④D.③④解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.答案D5.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线上.解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.答案AC6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是(把正确图形的序号都填上).解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.答案①③7.如图所示,设E,F,G,H,P,Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点,求证:E,F,G,H,P,Q共面.证明连接EF,QG,A1C1,EH,FG.因为E,F,Q,G分别是A1D1,D1C1,A1A,C1C的中点,所以EF∥A1C1∥QG,同理可证FG∥EH.设E,F,Q,G确定平面α,F,G,E,H确定平面β,由于α与β都经过不共线的三点E,F,G,所以α与β重合,即E,F,G,H,Q五点共面,同理可证E,F,G,P,Q五点共面,所以E,F,G,H,P,Q共面.8.如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.因为PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR.又因为M∈直线CB,CB⊂平面BCD,所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.