2020年中考数学专题培优 勾股定理及其逆定理的应用

2020年中考数学专题培优勾股定理及其逆定理的应用一、单选题（共有9道小题）1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3B．4，5，6C．12，13，14D．9，40，413.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．5cm，6cm，7cmB．2cm，3cm，4cmC．2cm，2cm，1cmD．5cm，12cm，13cm4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:55.下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④RtABC△中，90C∠，两直角边a、b分别是方程2770xx的两个根，则AB边上的中线长为1352正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC=2，AC=4，则BD=（）A.32B.2C.52D.37.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）BADEBCAEFODBCAA.1.6B.2.5C.3D.3.1258.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（）A.32B.3C.1D.439.如图，在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线2yax上,⊙P恒过点(0,)Fn.且与直线yn始终保持相切，则n=____________(用含a的代数式表示).二、填空题（共有9道小题）10.平面直角坐标系中，点（2，3）到原点的距离是11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．12.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是（π取近似值3）D'EDBCAFPy=-nxyODPQCBABA13.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△BCG的周长为．14.观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是．15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。16.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是.17.如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物那么它需要爬行的最短路径的长是GFCDBAE151020CABDBCAA'436BFCMADGE18.如图所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．三、解答题（共有5道小题）19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°.延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作如图所示的等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE.（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AC=3cm,求BE的长.20.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.(1)求DC的长.(2)求AB的长.(3)求证:△ABC是直角三角形.EFDBCAEDBCADABC21.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长22.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6,以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线于点F，连接AF，求AF的长。23.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.参考答案一、单选题（共有9道小题）1.A2.DFEDBCAFDEBCADBAC3.D4.D5.C6.C7.D8.A9.14na二、填空题（共有9道小题）10.1311.解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2＋CD2，∴x2＝32＋(5－x)2，解得x＝175，∴CD＝BC－DB＝5－175＝85，故答案为85．12.1513.解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为23×9＝6，∴空白部分的面积为9－6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为12×3＝32，设BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，又∵a2＋b2＝32，DPQCBAGFCDBAE∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，即(a＋b)2＝15，∴a＋b＝15，即BG＋CG＝15，∴△BCG的周长＝15＋3，故答案为：15＋3．题一：14.12，35，37．详解：根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2(n+1)，第二个是：n(n+2)，第三个数是：(n+1)2+1．根据这个规律即可解答．第⑤组勾股数是12，35，3715.2516.28x17.8518.30三、解答题（共有5道小题）19.∴等腰三角形CDE中，∠DCE=90°,∴CD=CE.∴∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD.即∠BCE=∠ACD.又AC=BC，∴≌ACD≌≌BCE.(2)6220.解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，222CDBDCB，∴222915CD∴CD=12；（2）在Rt△CDA中，222CDADAC∴2221220AD∴AD=16，∴AB=AD+BD=19+9=25．（3）由勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形21.证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC，而∠AEC=∠ADC=90°．由AAS可得，△AEF≌△CDF⇒EF=DF．22.∵AB=AC=5，BC=6，∴AM=4，∵∠ACM+∠FCD=90°，∠MAC+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠FCD，在△AMC和△CFD中CDACFCDMACDFCCMA∴△AMC≌△CFD（AAS），∴AM=CF=4，故657422AF23.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.