2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用

2020年中考数学专题培优二次函数综合应用一、解答题（共有7道小题）1.如图，直线1yx与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线20yaxbxca经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。（1）球抛物线的解析式。（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的和最小。求出点P的坐标。2.如图，已知二次函数22yaxxc＝＋＋的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数22yaxxc＝＋＋的表达式；(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．yxCDBAOxyPBACO3.如图，已知二次函数2＝＋＋yaxbxc的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－＋－yxx的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．(1)求点P，C的坐标；(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．yxMCAOBPHyxDBAlCPO5.如图，已知二次函数22yaxxc＝＋＋的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数22yaxxc＝＋＋的表达式；(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．6.如图，直线1yx与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线20yaxbxca经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。（1）球抛物线的解析式。xyPBACO（2）在y轴上是否存在一点G，似的GBGD的值最大？若存在，求出点G的左边；若不存在，请说明理由。7.已知顶点为A抛物线2122yax经过点322B，，点522C，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若＝OPMMAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到1QENV，若点1N落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．参考答案一、解答题（共有7道小题）yxCDBAOy图2N1NFEMACBOQyx图1FEMACBOP1.（1）解：把y=0代入1yx，得x=-1，所以A(-1，0)由OA=OC可得C(0，-1)将B(4，m)代入1yx可得m=5，所以B(4，5)所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入20yaxbxca可得0516411abcabc，解得12121abc，进而，211122yxx（2）22111191=22228yxxx所以，函数的对称轴为直线12x，点A(-1，0)关于直线12x的对称点为A’(2，0)。A’C与直线12x的交点即为点P。设A’C所在直线解析式为ykxb，进而可得112yx当12x时13124yx所以，点P的坐标为13,242.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9603acc，解得13ac，二次函数的解析是为223yxx＝－＋＋；(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵C(0，3)，∴E(0，32)，∴点P的纵坐标32，当y＝32时，即23232xx－＋＋，解得12102x，22102x(不合题意，舍)，∴点P的坐标为(2102，32)；(3)如图2，xyP图1P'EBACOxyP图2QBACOPFP在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得3303kb，解得13kb．直线BC的解析为y＝－x＋3，设点Q的坐标为(m，－m＋3)，PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m．当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，OA＝1，AB＝3－(－1)＝4，ABCPCQPBQABPCSSSSVVV四边形＝＋＋＝12AB•OC＋12PQ•OF＋12PQ•FB＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3＝3375228m2－－＋，当m＝32时，四边形ABPC的面积最大．当m＝32时，－m2＋2m＋3＝154，即P点的坐标为(32，154)．当点P的坐标为(32，154)时，四边形ACPB的最大面积值为758．3.解：(1)将A，B，C代入函数解析式，得09303abcabcc，解得123abc，这个二次函数的表达式y＝x2－2x－3；(2)设BC的解析式为y＝kx＋b，将B，C的坐标代入函数解析式，得303kbb，解得13kb，BC的解析式为y＝x－3，设M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)，PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－32)2＋94，当n＝32时，PM最大＝94；②当PM＝PC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝3，n2－2n－3＝－0，P(3，0)．当PM＝MC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2，解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3－2，n3＝3＋2(不符合题意，舍)，n2－2n－3＝2－42，P(3－2，2－42)；综上所述：P(3－2，2－42)．4.解：(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴顶点P(3，4)，令x＝0得到y＝－5，∴C(0．－5)．(2)令y＝0，x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5，∴A(1，0)，B(5，0)，设直线PC的解析式为y＝kx＋b，则有534bkb，解得35kb，∴直线PC的解析式为y＝3x－5，设直线交x轴于D，则D(53，0)，设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E(113，0)或E′(193，0)，则直线PE的解析式为y＝－6x＋22，∴Q(92，－5)，直线PE′的解析式为y＝－65x＋385，∴Q′(212，－5)，综上所述，满足条件的点Q(92，－5)，Q′(212，－5)．5.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9603acc，yxE'EQ'QDBAlCPO解得13ac，二次函数的解析是为223yxx＝－＋＋；(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵C(0，3)，∴E(0，32)，∴点P的纵坐标32，当y＝32时，即23232xx－＋＋，解得12102x，22102x(不合题意，舍)，∴点P的坐标为(2102，32)；(3)如图2，P在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得3303kb，解得13kb．直线BC的解析为y＝－x＋3，设点Q的坐标为(m，－m＋3)，PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m．当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，xyP图1P'EBACOxyP图2QBACOPF解得x1＝－1，x2＝3，OA＝1，AB＝3－(－1)＝4，ABCPCQPBQABPCSSSSVVV四边形＝＋＋＝12AB•OC＋12PQ•OF＋12PQ•FB＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3＝3375228m2－－＋，当m＝32时，四边形ABPC的面积最大．当m＝32时，－m2＋2m＋3＝154，即P点的坐标为(32，154)．当点P的坐标为(32，154)时，四边形ACPB的最大面积值为758．6.（1）解：把y=0代入1yx，得x=-1，所以A(-1，0)由OA=OC可得C(0，-1)将B(4，m)代入1yx可得m=5，所以B(4，5)所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入20yaxbxca可得0516411abcabc，解得12121abc，进而，211122yxx（2）连接BD并延长，交y轴于点G，则点G即为所求。设BD所在直线解析式为ykxb，代入B(4，5)，D(2，0)进而可得552yx。当x时5552yx所以，存在这样的点G(0，-5)7.解：(1)把点322B，代入2122yax，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：2122yx；(2)由2122yx知A(12，－2)，设直线AB解析式为：y＝kx＋b，代入点A，B的坐标，得：122322kbkb，解得：21kb，∴直线AB的解析式为：y＝－2x－1，易求E(0，1)，704F，，102M，，若∠OPM＝∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴14334＝OPOEFAFE，∴2244175(0)(2)33243OPFA，设点P(t，－2t－1)，则：225(21)3tt解得1215t，223t，由对称性知；当1215t时，也满足∠OPM＝∠MAF，∴1215t，223t都满足条件，∵△POE的面积＝12•OE•|t|，∴△POE的面积为115或13．(3)若点Q在AB上运动，如图1，设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a、QN＝－2a，由翻折知QN′＝QN＝－2a、N′E＝NE＝－a，由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，∴''''＝QRRNQNNSESEN，即2121＝QRaaESa＝2，∴QR＝2、ES＝212a，由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋212a＝2，解得：a＝－54，∴Q(－54，32)；若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，设NE＝a，则N′E＝a，易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，∴QR＝5、SE＝5－a，在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2，解得：a＝355，图1ENSRQN'图2EQRSNN'∴Q(－355，2)；若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，设NE＝a，则N′E＝a，易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，∴QR＝5、SE＝5－a，在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2，解得：a＝355，∴Q(355，2)．综上，点Q的坐标为(－54，32)或(－355，2)或(355，2)．图3ESQRNN'