2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题27 尺规作图与命题的证明（含解析）

专题27尺规作图与命题的证明考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一尺规作图尺规作图的概念：用无刻度直尺和圆规作图，叫做尺规作图。基本作图方法：1、作一条线段等于已知线段2、作一个角等于已知角3、作已知角的角平分线4、过一点作已知线段的垂线5、作已知线段的垂直平分线【考查题型汇总】考查题型一运用基本作图确定几何图形特殊位置1．（2019·江苏中考模拟）按要求作图，并保图作图痕迹．如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺作线段AD，使AD=a+2b﹣c．【答案】见解析.【详解】解：如图所示：AE即为所求．2．（2019·山东中考模拟）如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．【答案】见试题解析【解析】如图所示：．3．（2019·广东中考模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】（1）作图见解析；（2）ABD的周长为5cm.【解析】（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．4.（2018·山东中考模拟）如图：求作一点P，使PMPN，并且使点P到AOB的两边的距离相等．【答案】见解析【详解】如图所示：P点即为所求．5．（2019·江苏中考模拟）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（1）作△ABC的外接圆圆心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【详解】（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示，等边△DFH即为所求；（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．6．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图．（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使∠AQM＝∠BQM．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【详解】解：（1）如图①，作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，此时PA+PB＝PA′+PB＝BA′，根据两点之间线段最短，此时PA+PB最小；（2）如图②，作B关于MN的对称点B′，连接AB′并延长交MN于Q，此时∠AQM＝∠BQM．考查题型二运用基本作图确定实际问题特殊位置1．（2019·甘肃中考模拟）同学们，数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的知识可以帮助我们解决许多实际问题.如王明想建一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A，B，同时又有相交的两条公路CD，EF，为方便进货和居民生活，王明想把超市建在到两居民区的距离相等，同时到两公路距离也相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图.聪明的你一定能用所学的数学知识帮助王明在图上确定超市的位置！请用尺规作图．．．．确定超市点P的位置.(作图不写作法，但要求保留作图痕迹)分析：先将实际问题转化为数学问题，把超市看作一个点.点P到A，B两点的距离相等，根据性质：__________________，需用尺规作出_____________；又点P到两相交直线CD，EF的距离相等，根据性质：_________________，需用尺规作出_______________；而点P同时满足上述两个条件，因此应该是它们的交点.请同学们先完成分析过程(即填空)，再作图；【答案】如图所示见解析.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，线段AB的垂直平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，COF的角平分线.【详解】如图所示，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等线段AB的垂直平分线角平分线上的点到角两边的距离相等COF的角平分线2．（2019·福建省永春第二中学初一期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．(注：此题作图不需要写画法和结论)(1)作射线AC；(2)作直线BD与射线AC相交于点O；(3)分别连接AB、AD；(4)我们容易判断出线段AB、AD、BD的数量关系式AB+AD＞BD，理由是______．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)两点之间，线段最短．【详解】解：(1)(2)(3)如图所示；(4)AB+AD＞BD理由是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．知识点二命题、定理与证明命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。【考查题型汇总】考查题型三判断命题真假1．（2015·广东中考真题）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【解析】试题解析：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选B．2．（2019·深圳市龙岗区实验学校中考模拟）给出下列5个命题：①两点之间直线最短；②同位角相等；③等角的补角相等；④不等式组2{2xx＞＜的解集是﹣2＜x＜2；⑤对于函数y=﹣0.2x+11，y随x的增大而增大．其中真命题的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【详解】①两点之间线段最短，故①不正确；②两直线平行，同位角相等，故②不正确；③等角的补角相等，故③正确，是真命题；④不等式组22xx＞＜的解集是﹣2＜x＜2，故④正确，是真命题；⑤对于函数y=﹣0.2x+11，y随x的增大而减小，故⑤不正确．真命题有③④，共2个．故选A．3．（2018·广东中考模拟）下列命题中：①方程2x2x30有两个不相等的实数根；②不等式2x113的最大整数解是2；③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形；④直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为4.8．其中是真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】①方程2x2x30，441380，无实数根，错误；②不等式2x113的解集为x2，最大整数解是1，错误；③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法错误，应为菱形；④直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为4.8，正确；故选：A．考查题型四命题的条件和结论的判断方法1．（2019·互助县第四中学初二期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A．两条直线B．相交C．只有一个交点D．两条直线相交【答案】D【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D．2．（2018·陕西高新一中初二期中）命题“等角的补角相等”中，“等角的补角”是命题的（）A．条件部分B．是条件，也是结论C．结论部分D．不是条件，也不是结论【答案】A【详解】解：命题“等角的补角相等”:题设是两个角是等角的补角,结论是这两个角相等,故选A.3.（2018·山东省淄博市临淄区金山中学初一期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（）A．如果是同角的余角，那么相等B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角D．如果两个角互余，那么这两个角相等【答案】B【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”．故选B．4．（2017·上海市廊下中学初二期末）下列定理中，其逆命题是假命题的是()A．两直线平行，内错角相等B．对顶角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等边三角形的三个内角都是60【答案】B【解析】解：A．两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，故此选项错误；B．对顶角相等的逆命题为“相等的两角是对顶角”，逆命题为假命题，符合题意；C．等腰三角形的两个底角相等的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误；D．等边三角形的三个内角都是60°的逆命题是“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误．故选B．