2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题20 勾股定理（含解析）

专题20勾股定理考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余。2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc变式：1）a²=c²-b²2）b²=c²-a²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422SabcabccbaHGFEDCBAbacbaccabcab大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证222abc【考查题型汇总】考查题型一利用直角三角形的性质解题1．（2018·湖南中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF．【答案】见解析【详解】证明：连接AF，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF，又AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=∠BAF=30°，∴∠FAC=90°，abccbaEDCBA∴AF=FC，∴FC=2BF．2.（2013·江苏中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长(结果保留根号)．【答案】2753；217【解析】在Rt△ADC中，∠C＝90°，3AC，∠ADC＝60°，因为sinACADCAD，即332AD，所以AD＝2．由勾股定理得：221DCADAC．所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3AC，BC＝5，由勾股定理得：2227ABBCAC，所以Rt△ABC的周长为2753ABBCAC．3．（2019·江苏中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．【答案】3【详解】如图，连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，∴∠BAD=60°，AD⊥BC，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，设EA=x，在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，∴EB：EA=3x：x=3．考查题型二含30°角的直角三角形解题方法1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【详解】∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB⊥AD，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC=∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12．故选C.2．（2019·丹东市第十七中学中考模拟）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4B．6C．43D．8【答案】B【解析】∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选B．3．（2018·湖北中考模拟）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是()A．∠CAD=30°B．AD=BDC．BD=2CDD．CD=ED【答案】D【解析】试题分析：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，根据已知不能推出CD=DE，只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．故选D．4．（2018·安徽中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1考查题型三利用勾股定理求几何体表面最短距离1．（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）A．2aB．（1+2）aC．3aD．5a【答案】D【解析】详解：如图，则AB=22APPB=224aa=5a．故选D．2．（2016·山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A．13cmB．2√61cmC．√61cmD．2√34cm【答案】A【解析】试题解析：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=√𝐴′𝐴2+𝐴𝐴2=√52+122=13（cm）．故选A．3．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点,若沿圆柱的侧面积运动，则AB之间的最短距离是()A．10B．3C．5D．4【答案】A【解析】展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半是6，矩形的宽是圆柱的高是8．根据勾股定理求得矩形的对角线是10．即A、B两点间的最短距离是10．故选C．考查题型四利用勾股定理解决实际问题1．（2019·重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米【答案】D【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝22ABBC＝4米，∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选D．2．（2019·福建中考模拟）《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。问折高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远。问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．𝐴2−6=(10−𝐴)2B．𝐴2−62=(10−𝐴)2C．x2+6=(10-x)2D．x2+62=(10-x)2【答案】D【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10-x）2．故选：D．3．（2019·湖北中考模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有()m．A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，所以BC＝2210-8＝6．故选：C．4．（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船,AB同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；（2）救助船B先到达．【详解】(1)如图，作PCAB于C，则90PCAPCB，由题意得：=120PA海里，=30A，=45BPC，∴1602PCPA海里，BCP是等腰直角三角形，∴60BCPC海里，22602PBPCBC海里，答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；(2)∵120PA海里，602PB海里，救助船,AB分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为120=340(小时)，救助船B所用的时间为6022230(小时)，∵322，∴救助船B先到达．考查题型五构造直角三角形利用勾股定理解题1．（2019·山东中考模拟）在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或10【答案】C【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得2222BDBAD1068A;2222CD(210)62ACAD;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得2222BDBAD1068A;2222CD(210)62ACAD;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.2．（2015·河北中考模拟）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（）A．32B．42C．32或42D．以上都不对【答案】C【解析】试题分析：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=√152−122=9，BD=√𝐴𝐴2−𝐴𝐴2=√132−122=5，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．故选C．3．（2018·甘肃中考模拟）如图所示，在Rt△ABC中，AB=CB，ED⊥CB，垂足为D点，且∠CED=60°，∠EAB=30°，AE=2，求CB的长．【答案】1+3【解析】过E点作EF⊥AB，垂足为F．∵∠EAB=30°，AE=2，∴EF=BD=1．又∵∠CED=60°，∴∠ECD=30°．∵AB=CB，∴∠EAC=∠ECA=15°，∴AE=CE=2．在Rt△CDE中，∠ECD=30°，∴ED=1，CD=2221=3，∴CB=CD+BD=1+3．考查题型六利用勾股定理解决翻折问题1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=3，AB=1，则点A1的坐标是（）A．(32，32)B．(32，3)C．(32，32)D．(12，32)【答案】A