2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题12 一元二次方程（含解析）

专题12一元二次方程考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：20(0)axbxca。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤【答案】B【详解】①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B.2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【答案】C【详解】观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；故选C.3．（2019·广东中考模拟）方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、2、5B．2、3、5C．2、﹣3、﹣5D．﹣2、3、5【答案】C【详解】2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.故选C.4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．2210xxB．20axbxcC．121xxD．223250xxyy【答案】C【详解】A.是分式方程，故此选项错误；B.当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；C.是一元二次方程，故此选项正确；D.是二元二次方程，故此选项错误；故选：C.5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0B．x2+3x﹣5=0C．x3+x=3D．ax2+bx+c=0【答案】B【详解】A.未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，故此选项错误；B.是一元二次方程，故此选项正确；C.未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D.a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B.考查题型一应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（2019·吉林中考模拟）若关于x的方程2m110xmx是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m1.B．m1.C．m1D． m0.【答案】A【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．2．（2019·四川中考模拟）若2223aax是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A．0B．2C．-2D．±2【答案】C【详解】由题意得：222,20aa，解得：a=-2.故选C.3．（2017·重庆中考模拟）若方程211120mmxmx是一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．–1【答案】D【详解】因为方程211120mmxmx是一元二次方程,所以212m, 10m,解得1m且1m所以1m,故选D.4．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1B．2C．1或2D．0【答案】B【详解】根据一元二次方程的相关概念可知，m-10，2320mm，解得：m=2.故选：B.考查题型二一元二次方程的根的应用方法1．（2019·四川中考模拟）若n（0n）是关于x的方程220xmxn的根，则m+n的值为（）A．1B．2C．-1D．-2【答案】D【详解】解：∵nn0是关于x的方程2xmx2n0的根，∴2nmn2n0，即n(n+m+2)=0,∵n0,∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.2．（2019·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0B．±1C．1D．﹣1【答案】D【详解】把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得：4m2-4=0，即m2-1=0解得：m1=1，m2=-1当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程，所以m=-1．故选D．3．（2018·河北中考模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）A．9B．3C．0D．﹣3【答案】D【详解】∵关于x的一元二次方程260axbx的一个根为x=−2，∴22260ab，化简，得2a−b+3=0，∴2a−b=−3，∴6a−3b=−9，∴6a−3b+6=−9+6=−3，故选D.知识点2：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmnn的形式；【注意】：1）当0n时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程2890xx，变形后的结果正确的是()A．249xB．247xC．2425xD．247x【答案】D【详解】2890xx，289xx，2228494xx，所以247x，故选D.2.．（2018·浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=10【答案】B【详解】x2﹣6x﹣1=0方程移项得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，故选：B．3.．（2015·湖北中考真题）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9【答案】D【详解】x2﹣6x﹣4=0，x2﹣6x=4，x2﹣6x+9=4+9，（x﹣3）2=4+9，故选D.方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得xab或者xab，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】1)若b≥0，方程有两个实数根。（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）2)若b0，方程无解。1．（2019·江苏中考模拟）一元二次方程(1)(3)25xxx根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【详解】（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+2＞3，x2=2﹣2，故有两个正根，且有一根大于3．故选D．2．（2019·四川中考模拟）对于两个实数a，b，用max,ab表示其中较大的数，则方程max,21xxxx的解是（）A．1，12B．1，12C．1，12D．1，12【答案】C【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数，∴当x＞0时，max（x，-x）=x，方程为x2=2x+1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2，∴x-1=±2，∴x=1±2，∴x＞0，∴x=1+2；当x＜0时，max（x，-x）=-x．方程为-x2=2x+1x2+2x+1=0，（x+1）2=0，∴x=-1，故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+2故选C．3．（2018·福建中考模拟）设一元二次方程（1x）（3x）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（）A．-1＜α＜β＜3B．α＜-1且β＞3C．α＜-1＜β＜3D．-1＜α＜3＜β【答案】B【详解】x2-2x-3=m，（x－1）2=4+m，∴x－1=±4m，x=1±4m．∵m＞0，∴4m＞2，∴α=1－4m＜－1，β=1+4m＞3，故α＜-1且β＞3．故选B．方法三：公式法（常用解法）一元二次方程20(0)axbxca根的判别式：24bac0方程有两个不相等的实根:242bbacxa（240bac）()fx的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点用公式法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：242bbacxa最后求出x1，x21．（2019·广西中考模拟）关于x的方程2(5)410axx有实数根，则a满足（）A．1aB．1a且5aC．1a且5aD．5a【答案】A【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．2．（2019·福建中考模拟）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根【答案】B【详解】一元二次方程的根的情况与根的判别式有关，24bac2(32)42(3)420，方程有两个不相等的实数根，故选B3．（2019·新疆中考模拟）已知关于x的一元二次方程2230xkx有两个相等的实根，则k的值为（）A．26B．6C．2或3D．2或3【答案】A【详解】∵方程2230xkx有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=26．故选：A．考查题型三一元二次方程根的判别式的应用方法1．（2019·河南中考模拟）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤43且k≠1B．k≤43C．k＜43且k≠1D．k＜43【答案】A【详解】解：根据题意得104430kk﹣且＝﹣﹣1，解得43k，所以k的范围为413kk且．故选：A．2．（2015·四川中考真题）方程(𝑚−2)𝑚2−√3−𝑚𝑚+14=0有两个实数根，则𝑚的取值范围（）A．𝑚52B．𝑚≤52且𝑚≠2C．𝑚≥3D．𝑚≤3且𝑚≠2【答案】B【详解】解：根据题意得𝑚−2≠0，3−𝑚≥0，𝑚=(−√3−𝑚)2−4(𝑚−2)×14≥0，解得m≤52且m≠2．故选B．3．（2019·安徽中考模拟）若关于x的一元二次方程222(1)10xkxk有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1B．k＞1