2020年中考数学考点一遍过 考点23 图形的相似（含解析）

考点23图形的相似一、比例的相关概念及性质1．线段的比两条线段的比是两条线段的长度之比．2．比例中项如果ab=bc，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3．比例的性质性质内容性质1ab=cd⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．性质2如果ab=cd，那么abcdbd．性质3如果ab=cd=…=mn（b+d+…+n≠0），则acmbdn……=mn（不唯一）．4.黄金分割如果点C把线段AB分成两条线段，使ACBCABAC，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．二、相似三角形的判定及性质1．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．三、相似多边形1．定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．四、位似图形1．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．考向一比例线段及其性质1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．典例1已知34xy，那么下列等式中，不成立的是A．3=7xxyB．14xyyC．3344xyD．4x=3y【答案】B【解析】A、∵34xy，∴3=7xxy，此选项正确，不合题意；B、∵34xy，∴14xyy，此选项错误，符合题意；C、∵34xy，∴3344xy，此选项正确，不合题意；D、∵34xy，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；故选B．典例2四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=8cm，d=12cm，则a=A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm【答案】A【解析】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴ab=cd，∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴3a=812，解得：a=2cm．故选A．1．已知线段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是A．a+b=7B．5a=2bC．abb=72D．52ab=12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是A．1 3DEBC=B．14DEBCC．13AEACD．14AEAC考向二相似三角形1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．典例3【浙江省宁波市北仑区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，故选A.【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．典例4【山西省吕梁市汾阳市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若ABC∽DEF，10AB，12BC，5DE，则EF的长为A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】∵△ABC∽△DEF，10AB，12BC，5DE，∴ABBCDEEF，∴10125EF，∴EF=6.故选C.【名师点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题．3．【江苏省徐州市铜山区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】两个相似三角形的面积比为9:16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为__________cm．4．【陕西省渭南市富平县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.证明：△BCD∽△BDE.考向三相似多边形1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．2．相似多边形对应边的比叫做相似比．3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．典例5下列各组图形中一定是相似形的是A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形【答案】B【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选B．5．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为A．24.8cmB．26.7cmC．29.7cmD．无法确定6．如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．考向四位似1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．典例6【河北省保定市涞水县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】已知，如图，ABAB∥，BCBC∥，且:4:3OAAA，则ABC与__________是位似图形，位似比为____________.【答案】ABC，7：4【解析】∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴△ABC∽△A′B′C′，=OOBABABB，=BBCBCBOO，∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO，=CBCABBAB，∠A′B′C′=∠ABC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4．【名师点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比．7．【广东省广州市海珠区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，若2,3C，3,1D，4,6A，则B的坐标为___________________．8．【陕西省渭南市富平县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC格点（顶点是网格线的交点）.请在网格中画出△ABC以A为位似中心放大到原来的3倍的格点△AB1C1，并写出△ABC与△AB1C1的面积比__________（△ABC与△AB1C1，在点A的同一侧）.1．【广东省佛山市三水区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】设32ab，下列变形正确的是A．32baB．23abC．32abD．23ab2．【广东省惠州市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=2，AB=3，AE=4，则AC等于A．5B．6C．7D．83．【广东省佛山市三水区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若ABCDEF∽，面积之比为9:4，则相似比为A．94B．49C．32D．81164．【河南省许昌市襄城县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知点3,6A，9,3B，以原点O为位似中心，相似比为13，把ABO缩小，则点A的对应点'A的坐标是A．()1,2-B．9,18C．9,18或9,18D．()1,2-或1,25．如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是A．AEAGAFADB．CECBCFCDC．AECFAFCED．GEAGDFAD6．如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4，2)、B(8，0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(–4，0)，则A1的坐标为A．(2，1)B．(–2，–1)C．(–1，2)D．(–4，–2)7．在比例尺为1：6000000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘米，则海口与三亚的实际距离约为__________千米．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．【河北省唐山市滦州市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点