2020年中考数学考点一遍过 考点07 不等式与不等式组（含解析）

考点07不等式与不等式组一、不等式的概念、性质及解集表示1．不等式一般地，用符号“”（或“≤”）、“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质理论依据式子表示性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变若ab，则acbc性质2不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若ab，0c，则acbc或abcc性质3不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若ab，0c，则acbc或abcc温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法1．一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．3．一元一次不等式组的解法先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．4．几种常见的不等式组的解集设ab，a，b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中ab）数轴表示解集口诀xaxbxb同大取大xaxbxa同小取小xaxbaxb大小、小大中间找xaxb无解大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．四、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．考向一不等式的定义及性质（1）含有不等号的式子叫做不等式．（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．典例1下列式子属于不等式的个数有①23x50；②3x=4；③–1–2；④23x；⑤2x≠1．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵（1）2503x是不等式；（2）34x是等式；（3）12是不等式；（4）23x是代数式（既不是等式，也不是不等式）；（5）21x是不等式；∴上述式子中属于不等式的有3个.故选C.【名师点睛】解答本题的要点有两点：（1）熟记不等式的定义：“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”；（2）熟记常见的5种不等号：、、、、.典例2下列不等式变形正确的是A．由ab，得acbcB．由ab，得–2a–2bC．由ab，得–a–bD．由ab，得a–2b–2【答案】D【解析】A、由ab，当c0时，得acbc，错误；B、由ab，得–2a–2b，错误；C、由ab，得–a–b，错误；D、由ab，得a–2b–2，正确；故选D．【名师点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．1．有下列数学表达式：①30；②450x；③4x；④2xx；⑤5x；⑥221xy.其中是不等式的有A．3个B．4个C．5个D．6个2．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：（1）若a–b0，则a__________b；（2）若a–b=0，则a__________b；（3）若a–b0，则a__________b.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较4＋3a2–2b＋b2与3a2–2b＋1的大小．考向二一元一次不等式的解集及数轴表示（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．典例3不等式2723xx的解集为________________．【答案】4x【解析】去分母：3(2)2(7)xx，去括号：36142xx，移项：32146xx，合并同类项：520x，系数化为1：4x，故不等式2723xx的解集为4x．典例4某不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式的解集是A．2xB．2xC．2xD．2x【答案】C【解析】观察数轴可得2x，故该不等式的解集是2x，故选C．【名师点睛】本题主要考查对在数轴上表示不等式的解集的理解和掌握，能根据数轴上不等式的解集得出答案是解此题的关键．3．不等式215x的解集为A．2xB．1xC．2xD．2x4．不等式3223xx的解集在数轴上表示正确的是A．B．C．D．考向三一元一次不等式组的解集及数轴表示不等式解集的确定有两种方法：（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；（2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”典例5已知点(1,1)2aPa在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示是A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点(1,1)2aPa在第二象限，∴10102aa，解得a–1．故选C．【名师点睛】本题考查了点所在象限的横纵坐标符号和解一元一次不等式组的有关知识，解答关键是根据题意正确构造不等式组并正确求解.典例6解不等式组3(2)2513212xxxx，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】–1≤x3【解析】3(2)2513212xxxx①②，解不等式①，得：x≥–1，解不等式②，得：x3，则不等式组的解集为–1≤x3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每一个不等式的解集是解决问题的关键.5．解不等式组：534159104xxxx.6．解不等式组，并2345121123xxxx把它的解集在如下的数轴上表示出来．考向四一元一次不等式（组）的整数解问题此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．典例7若实数3是不等式220xa的一个解，则a可取的最小正整数为A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】根据题意，3x是不等式220xa的一个解，将3x代入不等式，可得620a，解得4a，则a可取的最小正整数为5，故选D．【名师点睛】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解的定义及解不等式的能力是解题的关键．典例8不等式组101102xx的最小整数解是A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】不等式组101102xx即12xx，即2x，大于2的最小整数是3，所以不等式组101102xx的最小整数解是3，故选C．7．不等式3(2)4xx的非负整数解有_______________个．8．不等式组301 32xx的所有整数解之和为_______________．考向五求参数的值或取值范围求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．典例9若关于x的不等式组2xax的解集是212ax，则aA．1B．2C．12D．2【答案】A【解析】根据题意得21aa，解得1a，故选A．典例10已知不等式组3(2)1213xxaxx仅有2个整数解，那么a的取值范围是A．2aB．4aC．24aD．24a【答案】D【解析】3(2)1213xxaxx①②，解不等式①可得132xa，解不等式②可得4x，由题可得不等式组的解集为1342ax，因为不等式组仅有2个整数解，即2和3，所以11322a，解得24a．故选D．【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．已知解集（整数解）求字母的取值或取值范围的一般思路：先把题目中除了未知数以外的字母当做常数看待，解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的式子，求解即可．9．若关于x的一元一次不等式组202xmxm有解，则m的取值范围为A．23mB．23mC．23mD．23m10．若关于x的不等式0721xmx的整数解共有2个，则m的取值范围为______________．考向六一元一次不等式（组）的应用求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实际相结合即可．典例11对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{–2，–1，0}=–1；max{–2，–1，0}=0，max{–2，–1，a}=(1)1(1)aaa＜，根据以上材料，解决下列问题：若max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}，则x的取值范围为__________．【答案】2932x【解析】∵max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}=3，∴533263xx，∴2932x，故答案为2932x．【名师点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意得到不等式去求解，考查综合应用能力.典例12某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有哪几种建造停车位的方案？【答案】（1）0.1，0.5；（2）3．【解析】（1）设该小区新建1个地上停车位需要x万元，1个地下停车位需y万元，根据题意得：0.6321.3xyxy，解得：0.10.5xy．故该小区新建1个地上停车位需要0.1万元，1个地下停车位需0.5万元．（2）设新建a个地上停车位，根据题意得：120.10.5(50)13aa，解得：3032.5a，根据题意因为a只能取整数，所以a=30或a=31或a=32，对应的50–a=50–30=20或50–31=19或50–32=18，所